Resolvamos la siguiente ecuación, valíendonos de alguna de las identidades notables que ya conocemos $$x^2=(x-2)^2$$
$x^2=(x-2)^2$
$x^2-(x-2)^2=0$
$(x-(x-2))(x+(x-2))=0$, donde usamos la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, siendo aquí $a:=x$ y $b:=x-2$
$2(2x-2)=0 \Leftrightarrow 2x-2=0 \Leftrightarrow x=1$
$\diamond$
Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
$(x+y)^2=x^2+2\,x\,y+y^2$
Solució:
$(x+y)^2=(x+y)\cdot (x+y)$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és igual a
$=x\cdot x + x\cdot y+ y\cdot x + y\cdot y$
i agrupant termes semblants queda
$=x^2 + 2\,x+y^2$
$\square$
Observació: Si canviem el signe més de la suma dels dos monomis que formen la base de la potència al quadrat del primer membre obtindrem:
$(x-y)^2=x^2-2\,x\,y+y^2$
i, doncs, aquesta identitat notable es generalitza de la forma
$(x\pm y)^2=x^2 \pm 2\,x\,y+y^2$
Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27^2$ fent ús d'aquesta propietat ?
$27^2 = (25+2)^2=25^2+2\cdot 25 \cdot 2 +2^2$
$=625+100+4=725+4=729$
Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
$(x+y)\cdot (x-y)=x^2-y^2$
Solució:
Per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, el primer membre de la igualtat, $(x+y)\cdot (x-y)$, es desenvolupa i queda igual a
$=x\cdot x + x\cdot y - y\cdot x - y\cdot y$
$=x\cdot x + x\cdot y - x\cdot y - y\cdot y$
$=x^2 + x\cdot y - x\cdot y - y^2$
$=x^2 + x\cdot y \cdot (1-1) - y^2$
$=x^2 + \cdot x \, y \cdot 0 - y^2$
$=x^2 + 0 - y^2$
$=x^2 - y^2$
$\square$
Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27\cdot 23$ fent ús d'aquesta propietat ?
$27\cdot 23 = (25+2)\cdot(25-2)=25^2-2^2=625-4=621$
Enunciat:
Demostreu la següent identitat notable:
$(x+y)^3=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,+y^3$
i poseu un exemple d'aplicació al càlcul mental.
Solució:
$(x+y)^3=(x+y)^{2}\,(x+y)=(x^2+2\,x\,y+y^2)\,(x+y)$
$=x^3+2\,x^2\,y +x\,y^2+x^2\,y+2\,x\,y^2+y^3$
i agrupant els termes semblants arribem a l'expressió del segon membre
$=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,x+y^3$
$\square$
Observació:
Canviant la suma de la base del binomi per una resta, és fàcil veure que
$(x-y)^3=x^3-3\,x^2\,y+3\,y^2\,-y^3$
Per tant es pot escriure aquesta identitat més general
$(x\pm y)^3=x^3 \mp 3\,x^2\,y+3\,y^2\,\mp y^3$
Exemple d'aplicació al càlcul mental: Càlcul de $12^3$
$12^3=(10+2)^3=10^3+3\cdot 10^2 \cdot 2 + 3\cdot 2^2 \cdot 10 + 2^3$
$=1\,000+600+120+8=1\,728$
