Considerar el triángulo rectángulo ...

Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:

Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $PB=2 \,\text{cm}$ y $PA=10\,\text{cm}$, calcúlese el área y el perímetro del triángulo.

Resolución:

(a) Área del triángulo:
Podemos calcular el área del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ multiplicando $c$ ( que es igual a $\text{PA}+\text{PB}=12\,\text{cm}$ ) por la altura correspondiente a dicho lado, que es $h$ y dividiendo por $2$; sin embargo, no conocemos el valor de $h$. Debemos, pues, calcularla; por el Teorema de la altura tenemos $\text{PA}\cdot \text{PB}=h^2$, esto es, $10\cdot 2 = h^2$, luego $h=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}= 2\,\sqrt{5}\,\text{cm}$. Así, pues, $\text{Área}=\dfrac{12 \cdot 2\,\sqrt{5} }{2}=12\,\sqrt{5} \approx 27 \, \text{cm}^2$

(b) Perímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ es la suma de sus tres lados, esto es, $\text{Perímetro}=a+b+c$   (1). Conocemos cuánto vale $c$ ( que es $12\,\text{cm}$ ) pero no conocemos, directamente, ni $a$ ni $b$; sin embargo, podemos calcular éstos mediante el Teorema del Cateto: $a^2=\text{PB}\cdot c = 2 \cdot 12 = 24$, luego $a= \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\,\sqrt{6} \,\text{cm}$, y, de forma análoga, $b^2=\text{PA}\cdot c = 10 \cdot 12 = 120$, luego $b= \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\,\sqrt{30} \,\text{cm}$. Así, pues, de (1) tenemos: $\text{Perímetro}=2\,\sqrt{6}+2\,\sqrt{30}+12 \, \text{cm} \approx 28 \, \text{cm}$

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[nota del autor]