Considérese una urna con $6$ bolas rojas y $5$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[ Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos dos puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos tres puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Resolución:
(a)
Procedemos a dibujar el diagrama de árbol, y, haciendo uso de la regla de Laplace, anotamos la probabilidad correspondiente a cada suceso elemental encima de la arista a dicho suceso ( cuidado: al extraer la primera bola, queda una bola menos en la urna, y, en particular, una bola menos del color que aparece ):
Así, pues, por los principios de multiplicación y de suma ( ver el cálculo que acompaña al diagrama de árbol ), la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es igual a $\dfrac{5}{11}$.
Nota: La probabilidad de obtener bolas de distinto color es, por la propiedad del contrario, igual a $1-$probabilidad de obtener bolas del mismo color, esto es, $1-\dfrac{5}{11}=\dfrac{6}{11}$.
(b)
El valor esperado de la ganancia de puntos se calcula sumando el producto de cada ganancia de cada evento resultante ( obtener bolas del mismo color y obtener bolas de colores distintos ) multiplicada por probabilidad correspondiente, por tanto $E=(+2)\cdot \dfrac{5}{11}+(-3)\cdot {6}{11})=-\dfrac{8}{11}$, valor éste que, al ser negativo, nos lleva a rechazar una proposición de juego como la descrita.
$\blacksquare$
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