El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide: a) el volumen del cubo b) el área del desarrollo plano c) la longitud de la diagonal de una de sus caras d) la longitud de la diagonal del cubo

Enunciado:
El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide:
    a) el volumen del cubo
    b) el área del desarrollo plano
    c) la longitud de la diagonal de una de sus caras
    d) la longitud de la diagonal del cubo

Resolución:

(a) Volumen del cubo:
Denotando por $a$ la arista del cubo, $V=a^3$. Para calcular $a$, tenemos en cuenta la información del enunciado ( conocemos el valor del área de una cara), por tanto $4=a^2$, luego $a=2\,\text{dm}$, con lo cual $V=2^3 = 8 \, \text{dm}^3$

(b) Área del desarrollo plano del cubo:
El área de una de las caras es $4\,\text{dm}^2$ ( enunciado ), y, por tanto, el área de las seis caras iguales de las que consta el cubo es $6 \cdot 4 = 24 \, \text{dm}^2$

(c) Longitud de la diagonal de las caras del cubo:
Denotando por $x$ la diagonal de una cara y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal en una de las caras, podemos escribir: $x^2=2^2+2^2$   (1), es decir, $x^2=2\cdot 2^2$, luego $x=\sqrt{2\cdot 2^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2^2}=2\,\sqrt{2}\, \text{dm} \approx 2,8\, \text{dm}$

(d) Longitud de la diagonal del cubo:
Denotamos por $d$ la diagonal del cubo, entonces aplicando, otra vez, el Teorema de Pitágoras, ahora, al triángulo rectángulo que se eleva sobre la base y cuyos catetos son $x$ (apartado anterior) y la arista $a=2$, tenemos $d^2=x^2+2^2$   (2); sustituyendo (1) en (2) llegamos a $d^2=2^2+2^2+2^2=12$, y, de aquí, $d=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\,\sqrt{3} \approx 3,5 \,\text{dm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]