Calcular el área y el perímetro del triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \; \text{m}$, i la longitud de la seva projecció sobre la hipotenusa és igual a $2 \; \text{m}$. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot b}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $b$ farem ús del teorema catet
    $b^2=(2+m)\cdot m \quad \quad (2)$

i, per calcular $m$, tornarem a fer ús del teorema del catet (amb l'altre catet i la corresponent projecció sobre la hipotenusa, és clar)
$3^2=(2+m)\cdot 2$
per tant
$m=\dfrac{5}{2} \, \text{m}$
Substituint aquest resultat a l'expressió (2) trobem
    $b^2=(2+\dfrac{5}{2})\cdot \dfrac{5}{2}$
és a dir
    $b^2=\dfrac{45}{4}$
i, per tant,
    $b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

Finalment, posant el valor de $b$ a l'expressió (1), arribem a

    $\mathcal{A}=\dfrac{9 \, \sqrt{5}}{4} \, \text{m}^2$

que, aproximant per arrodoniment, queda

    $\mathcal{A}\approx 5 \, \text{m}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=(2+m)+3+b \quad \quad (2)$

Substituint els resultats de $m$ i $b$ (que ha hem calculat) en aquesta expressió trobem el següent resultat

$\mathcal{P}=\big(2+\dfrac{5}{2}\big)+3+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

operant i aproximant (per arrodoniment) obtenim

$\mathcal{P}\approx 11 \, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]