División entera por defecto y por exceso. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Umprant la divisió per defecte y la divisió per excés, determineu el valor del quocient $q$ i del residu $r$, donats els següents valors del dividend $D$ i del divisor $d$:
    a) $D=5$ i $d=2$
    b) $D=-5$ i $d=2$
    c) $D=5$ i $d=-2$
    d) $D=-5$ i $d=-2$

Solució:
El Teorema de la divisió euclidiana [ dit també de la divisió dels nombres enters], que és el punt de partida per resoldre l'exercici, enuncia que:

  Donats dos nombres enters qualssevol $D$ ( que anomenem dividend) i $d \neq 0$ ( que anomenem divisor ), llavors existeixen dos nombres enters $q,r$ (únics), que compleixen les següents condicions:
    $D=d\cdot q +r$
    $0\le r \prec \left|d\right|$

a) $q=2$ i $r=1$
b) $q=-3$ i $r=1$
c) $q=-2$ i $r=1$
d) $q=3$ i $r=1$

Observació:

Les calculadores científiques i els programes de càlcul incorporen una funció per calcular el valor del residu d'una divisió entera ( efectuant-la per defecte, si el divisor és un nombre positiu però, per excés, si el divisor és un nombre negatiu ).

Aquesta funció rep la designació MOD(D,d), on D (el valor del dividend) i d (el valor del divisor) en són els arguments; i s'ha de fer servir, doncs, concretant el valor del primer argument, D, i del segon argument, d.

Per exemple, podem comprovar que teclejant mod(5,2) obtenim 1 com a resultat del càlcul del residu; teclejant mod(-5,2), obtindrem 1 com a resultat; si teclegem, però, mod(5,-2) obtindrem -1 (que és el que li correspon al residu fent la divisió per excés); i teclejant mod(-5,-2), obtindrem també -1 com a resultat (fa la divisió per defecte). Cal, per tant, anar amb compte quan fem ús de calculadores o bé de programes de càlcul i tenir en consideració això.