Enunciat:
Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle, sabent que són tres nombres parells consecutius.
Resolució:
En un triangle rectangle s'ha de complir el teorema de Pitàgores: el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadratas de les longituds del catets.
Si anomenem $n$ a la longitud de la hipotenusa (un nombre parell), designarem les longituds dels dos catets de la forma $n-2$ i $n-4$, respectivament (tenim en compte tota la informació de l'enunciat: totes tres longituds són nombres positius i parells - nombres naturals, doncs; i, a més, són parells consecutius).
Pel teorema de Pitàgores
$n^2=(n-2)^2+(n-4)^2$
desenvolupant les potències dels binomis
$n^2=n^2-4n+4+n^2-8n+16+(n-4)^2$
agrupant en un mateix membre i simplificant
$n^2-12n+20=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$ax^2+bx+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=-12$
$c=20$
tenim
$x=\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} 2\\ \\10\\ \end{matrix}\right.$
El primer valor no té sentit per al problema que volem resoldre, perquè representant $n$ la longitud de la hipotenusa, portaria als les següents longituds dels catets (nombres parells precedents): $0$ i $-2$ (longitud negativa !), que, és clar que no té cap sentit.
El segon valor és el bo: si $n=10 \, \text{m}$, llavors les longituds dels dos catets són $8 \, \text{m}$ i $6 \, \text{m}$, respectivament.
$\square$
