ENUNCIADO. Encontrar las parejas de números enteros positivos, distintos uno del otro, tales que la diferencia entre el mayor y el menor dé $6$, y al dividir ( división entera ) el mayor entre el menor se obtenga cociente igual a $1$ y resto igual a $6$.
SOLUCIÓN. Denotemos por $(n,m)$ cualquiera de esas parejas, donde $n \succ m$. Entonces, transcribiendo las dos condiciones a las respectivas ecuaciones, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}n-m=6\\ n=1\cdot m +6\end{matrix}\right\}$$
Sin embargo, la segunda ecuación es idéntica a la primera, luego el sistema es compatible indeterminado, y una de las dos incógnitas, pongamos que $m$, depende de la otra, de la forma: $m=n-6$ para $n \ge 13$ ( para $n \prec 13$ se cumple la primera condición pero no la segunda ).
En consecuencia, el conjunto de parejas que constituyen la solución al problema es
$$\{(13,7)\,(14,8),(15,9),(16,10)\ldots\}$$
esto es
$$\{(n,n-6): n \in \mathbb{Z}^{+} \; \text{;} \; n \ge 13 \}$$
$\square$
