¿Qué valor (o valores) de $x$ cumplen la siguiente ecuación $2^{\sqrt{x}}=16$?
Observemos que $16=2^4$, con lo cual la ecuación pedida podemos escribirla de la forma
$2^{\sqrt{x}}=2^4$ y por tanto, al ser iguales las bases de las potencias de sendos miembros, los exponentes también han de ser iguales:
$\sqrt{x}=4 \Rightarrow (\sqrt{x})^2=4^2 \Rightarrow x=16$
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Nos proponemos determinar los números reales que son solución de la siguiente ecuación: $$x^{x^{4}}=64$$
El primer paso, que viene a continuación, es el paso clave del ejercicio, que no es nada evidente hacerlo, pues se requiere una cierta habilidad en la planificación de la resolución, anticipándonos dos pasos antes de escribirlos; el desarrollo a partir de aquí sigue, sin embargo, con la aplicación de las propiedades básicas de las potencias:
$\left(x^{x^{4}}\right)^4=(8^{2})^{4}$
$\left(x^4\right)^{x^{4}}=8^{2\cdot 4}$
$\left(x^4\right)^{x^{4}}=8^8 \Leftrightarrow x^4=8 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt[4]{8}$
Finalmente, y teniendo en cuenta que $2^4=16\lt 8$ y $1^4=1\lt 8$, podemos escribir la siguiente acotación: $1\lt |x| \lt 2$. $\diamond$
