Los números perfectos son amigos de sí mismos

Recordemos que un divisor de un número entero positivo se dice que es un divisor propio si es distinto del propio número; así por ejemplo los divisores propios de $30$ son $\{1,2,3,5,,6,10,15\}$. Se dice que un número entero positivo es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al propio número; por ejemplo, $6$ es un número perfecto, ya que la suma de sus divisores propios, $\{1,2,3\}$, es igual al propio número: $1+2+3=6$. En cambio, $10$ no lo es pues, la suma de sus divisores propios, $\{1,2,5\}$, no es igual a dicho número: $1+2+5=8\neq 10$.

Como curiosidad, sabed que los siguientes dos números perfectos son $28$ y $496$; a partir de éstos, los números perfectos son muy grandes: $6, 28, 496, 8\,128, 3\,3\,550\,336, 8\,589\,869\,056, 137\,438\,691\,328,\ldots$. Podemos conjeturar que hay infinitos números perfectos, aunque tal cosa no se ha llegado a demostrar ni a refutar.

Un resultado interesante a la hora de buscar números perfectos (Euclides) nos dice que si $p$ es un número primo, entonces $2^{p-1}\cdot (2^p-1)$ es un número perfecto. Comprobémoslo con el número perfecto $6$: para $p=2$, se tiene que $2^{2-1}\cdot (2^2-1)=2\cdot 3=6$. Para encontrar otros números perfectos, basta pues con partir de un número primo y hacer el cálculo al que me refiero; por ejemplo, partiendo de $p=5$ se tiene que $2^{5-1}\cdot (2^5-1)=16\cdot 11=496$, que es otro número perfecto, como puede comprobarse a partir de la definición: los divisores propios de $496$ son $\{1,2,4,8,16,31,62,124,248\}$ (podéis encontrarlos mediante el método de los diagramas de árbol), y, en efecto, al sumarlos obtenemos el propio número, $1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$

Dos números enteros positivos se dicen amigos si la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa. Podéis comprobar, por ejemplo, que los números enteros positivos más pequeños que son amigos son $220$ y $284$; en efecto, los divisores propios de $220$ son $\{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110\}$, siendo $1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55 +110=284$, y lo divisores propios de $284$, que son $\{1, 2, 4, 71, 142\}$, suman el otro número, $1+ 2+ 4+ 71 +142=220$. Encontrar la siguiente pareja de números amigos nos llevará un cierto trabajo; podéis comprobar que se trata de $1184$ y $1210$. Encontrar pues otras parejas de amigos es ya todo un reto, aunque ya en el siglo IX, el matemático Thābit ibn Qurra descubrió unas fórmulas para generarlos (teorema de Thâbit ibn Qurra), las cuales no fueron generalizadas por Leonhard Euler en el siglo XVIII.

En buena lógica, entonces, puede decirse de un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. $\diamond$

Acerca de la resolución de ciertas ecuaciones de segundo grado de una manera rápida y elegante

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado con coeficientes enteros, cuyo coeficiente de grado dos sea igual a $1$, pueden resolverse de una manera muy elegante sin tener que utilizar la fórmula general. En tales casos, las soluciones son números enteros, que además de ser divisores del término independiente, cumplen que su suma es igual al coeficiente del término de primer grado. Veamos un ejemplo de esas ecuaciones, y cómo resolverla de esta manera:

$x^2-6x+8=0$
  $x^2-2x-4x+8=0 \because\,$ observemos que entre los divisores de $8$ figuran $-2$ y $-4$, y que éstos, en particular, verifican: $b=(-2)+(-4)=-6 \, \text{y}\, c=(-2)\cdot (-4)=8$. Entonces, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:
    $(x^2-2x)+(-4x+8)=0$
      $x(x-2)+4(-x+2)=0$
        $x(x-2)-4(x-2)=0$
          $(x-2)(x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Rightarrow x_1=2 \\ x-4=0 \Rightarrow x_2=4 \end{matrix}\right.$
Notemos que, cumplen la propiedad que los valores de toda solución de una ecuación de segundo grado deben satisfacer: (i) $x_1+x_2=-b$ (en nuestro caso, $b=-6$, y, en efecto, $2+4=6=-(-6)$), y (ii) $x_1\cdot x_2=c$ (en nuestro caso, $c=8$, y, en efecto, $2\cdot 4=8$).

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Comentario importante: Es claro que, sin embargo, esta técnica no siempre es aplicable; así, por ejemplo, no podemos utilizarla para resolver la ecuación $x^2+x-3=0$, ya que ninguna pareja del conjunto de divisores del término independiente, que es $3$, y que son $\{\pm 1\,,\,\pm 3\}$ no permite expresar como suma de éstos el coeficiente del término de grado uno, que es $1$ (aunque sí podamos decir que $c=-3=-1\cdot 3$ o bien $c=-3=1\cdot (-3)$): $-1-3=-4\neq b=1$, $1+3=4\neq b=1$, $1+(-3)=-2 \neq b=1$ y $-1+3=2\neq b=1$. En tales casos, habrá que recurrir a la fórmula general $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$, o bien, manejar algebráicamente la ecuación, paso a paso: $x^2+x-3=(x+\frac{1}{2}\,x)^2-3-\frac{1}{4}=0$ y, por tanto, $(x+\frac{1}{2}\,x)^2=\dfrac{13}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{2}\,x=\pm \sqrt{\dfrac{13}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$   $\diamond$