El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?

Enunciado:
El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?

Resolución:
Al aplicar al rectángulo de origen una homotecia de razón $r$, la longitud de cada uno de los lados del rectángulo resultante es $r$ veces mayor, luego el área de dicho rectángulo - que, como es sabido, se calcula multiplicando sus dos lados desiguales -, resulta ser igual a $(r\,a)\cdot (r\,b)$, es decir, $r^2 \cdot a\,b $; en otras palabras, el área, $\text{Área}^{'}$, del rectángulo - y, de hecho, de cualquier otra figura plana - que resulta de aplicar una homotecia de razón $r$ a la figura original ( de área $\text{Área}=a\cdot b$ ) es $\text{Área}^{'}=r^2 \cdot \text{Área}$. Así, pues, en nuestro caso, al ser $r=2$, $\text{Área}^{'}=2^2 \cdot 5 = 20 \, \text{cm}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]