Un ejercicio sobre sucesiones geométricas

ENUNCIADO.
El valor del tercer término de una sucesión geométrica es $8$ y el del quinto término es $32$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos

SOLUCIÓN.

Considérese la sucesión geométrica cuyo cuarto término es $\dfrac{3}{5}$ y cuyo séptimo término es $\dfrac{24}{5}$. Se pide: a) ¿ Cuál es el valor del primer término ? b) ¿ Cúal es el valor de $a_{10}$ ? c) Calcule la suma de los diez primeros términos d) Escriba la expresión del producto de los $n$ primeros términos e) Calcule el producto de los diez primeros términos

Enunciado:
Considérese la sucesión geométrica cuyo cuarto término es $\dfrac{3}{5}$ y cuyo séptimo término es $\dfrac{24}{5}$. Se pide:
  a) ¿ Cuál es el valor del primer término ?
  b) ¿ Cúal es el valor de $a_{10}$ ?
  c) Calcule la suma de los diez primeros términos
  d) Escriba la expresión del producto de los $n$ primeros términos
  e) Calcule el producto de los diez primeros términos

Solución:

a)
Denotemos por $r$ la razón de dicha sucesión geométrica. Como $a_7=a_{6}\,r=a_{5}\,r^2=a_{4}\,r^3$, teniendo en cuenta que $a_7=\dfrac{24}{5}$ y $a_{4}=\dfrac{3}{5}$, llegamos a la ecuación $\dfrac{3}{5}\,r^3=\dfrac{24}{5}$, que es equivalente a $3\,r^3=24$ y, por tanto, a $r^3=8$, de donde obtenemos $r=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$.

Conociendo ya el valor de $r$ podemos escribir el término general ( o n-ésimo ) de dicha sucesión como $a_n=a_{1}\,r^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$, y, teniendo en cuenta que para $n=4$, $a_4=\dfrac{3}{5}$ ( el valor del cuarto término ), llegamos a $\dfrac{3}{5}=a_{1}\,3^{4-1}$, esto es,$\dfrac{3}{5}=a_{1}\,2^{3}$; despejando $a_1$ ( como incógnita que es ), $a_1=\dfrac{3}{5 \cdot 2^3}=\dfrac{3}{40}$

b)
Recordemos que la expresión del término general es $a_n=a_1\,r^{n-1}$, siendo $n=1,2,3,\ldots$. Luego, para $n=10$, y teniendo en cuenta que $a_1=\dfrac{3}{40}$ y $r=2$, encontramos: $a_{10}=\dfrac{3}{40}\cdot 2^9=\dfrac{192}{5}$

c)
La fórmula de la suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica es $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}$. Para calcular $s_{10}$ basta, pues, sustituir: $n$ por $10$; $a_1$ por $\dfrac{3}{40}$, y $r$ por $2$, con lo cual obtenemos $s_{10}=\dfrac{3}{40}\cdot \dfrac{2^{10}-1}{2-1}=\dfrac{3}{40}\cdot (1024-1)=\dfrac{3069}{40}$

d)
Para multiplicar una número finito de términos sucesivos de una sucesión geométrica, podemos hacer uso de la siguiente propiedad: el producto del primero y del último término de dicha secuencia es igual al producto del segundo y del penúltimo y, a su vez, es igual al producto del tercero y del antepenúltimo, y, lo mismo con los demás extremos de la secuencia que va resultando; esta propiedad de las sucesiones geométricas lleva, fácilmente, a la siguiente fórmula $P_n=\sqrt[2]{(a_{1}\cdot a_{n})^n}$

e)
Una manera de obtener el producto pedido pasa por calcular $a_8=r\cdot a_7$ ($a_7$ viene dado en el enunciado), $a_9=r\cdot a_8$ y $a_{10}=r\cdot a_9$, y, conociendo ya el valor de los factores, bastaría multiplicar de manera sucesiva ( propiedad asociativa del producto ); ahora bien, es claro que esta forma de hacerlo se torna inviable a partir de un cierto número de términos y, por tanto, es mejor aplicar la fórmula pedida en el apartado anterior, para los siguientes valores de los argumentos de la misma: $n=10$, $a_1=\dfrac{3}{40}$ y $a_{10}=\dfrac{192}{5}$, de lo cual se obtiene:
$$P_{10}=\sqrt[2]{\big(\dfrac{3}{40}\cdot \dfrac{192}{5}\big)^{10}} = \big(\dfrac{72}{25}\big)^5 \approx 198$$

$\square$

[nota del autor]