Enunciat: Considerem que n és un nombre natural, quant val el reste de la divisió 7n+3 entre n, per a tot n enter no nul? Resolució: Vaig suggerir als meus alumnes que provessin diversos valors de n i que, a la vista dels resultats, treguessin les conclusions oportunes. Procedint així, el problema es pot considerar fàcil. Ara bé, tot i que és fàcil intuir la solució, demostrar-la costa una mica més. Vegem-ho. Al primer cop d'ull, ens quedem una mica desconcertats. Ara bé, de seguida una veueta ens diu que cal pensar amb el teorema fonamental de la divisió: el dividend = divisor . quocient + reste. Primer que tot convé entendre que el dividend de l'operació que se'ns dóna, 7n+3, és més gran que el divisor, 7. Això és així perquè n és un nombre natural, i per molt petit que sigui (penseu amb l'u), el dividend és més gran que 7 (10, en el cas que n=1). Si penseu en la divisió en termes d'una fracció (7n+3)/7, en cas, impròpia, ja que el numerador és més gran que el denominador, sabem que la podrem expressar com a suma d'un nombre enter més una fracció pròpia, el numerador de la qual és igual al reste de la divisó. Pel cas que tenim entre mans, (7n+3)/7 la descomposem fàciment així (propietat distributiva): n + 3/7. Pel que acabem de dir, doncs, el reste ha de ser igual a 3 |
[autoría]
