Explique cómo se forman los sucesivos términos de las siguientes sucesiones numéricas, y decir cuáles de ellas son aritméticas, cuáles son geométricas, y cuáles no son ni aritméticas ni geométricas: a) $-1\,,\,1\,,\,-1\,,\,1\,,\,-1\,,\,1\,,\,\ldots$ b) $1\,,\,5\,,\,25\,,\,125\,,\,625\,\ldots$ c) $-4\,,\,-2\,,\,0\,,\,2\,,\,4\,\ldots$ d) $1\,,\,4\,,\,9\,,\,16\,,\,25\,,\,36\,,\,\ldots$ e) $1\,,\,1\,,\,2\,,\,3\,,\,5\,,\,8\,,\,13\,,\,21\,,\,34\,\ldots$

Enunciado:
Explique cómo se forman los sucesivos términos de las siguientes sucesiones numéricas, y decir cuáles de ellas son aritméticas, cuáles son geométricas, y cuáles no son ni aritméticas ni geométricas:
  a) $-1\,,\,1\,,\,-1\,,\,1\,,\,-1\,,\,1\,,\,\ldots$
  b) $1\,,\,5\,,\,25\,,\,125\,,\,625\,\ldots$
  c) $-4\,,\,-2\,,\,0\,,\,2\,,\,4\,\ldots$
  d) $1\,,\,4\,,\,9\,,\,16\,,\,25\,,\,36\,,\,\ldots$
  e) $1\,,\,1\,,\,2\,,\,3\,,\,5\,,\,8\,,\,13\,,\,21\,,\,34\,\ldots$

Solución:

a)
El valor de los términos sucesivos se forma multiplicando por $-1$ el valor del término precedente, por lo que se trata de una s. geométrica de razón $r=-1$ y primer término $a_1=-1$; el término general $a_n=a_1 \, r^{n-1}$ es, por tanto, $a_n=(-1)\cdot \, (-1)^{n-1}=(-1)^n$ donde $n=1,2,3,\ldots$

b)
El valor de los términos sucesivos se forma multiplicando por $5$ el valor del término precedente, por lo que se trata de una s. geométrica de razón $r=5$ y primer término $a_1=1$; el término general $a_n=a_1 \, r^{n-1}$ es, por tanto, $a_n=1 \cdot 5^{n-1}=5^{n-1}$ donde $n=1,2,3,\ldots$

c)
El valor de los términos sucesivos se forma sumando $2$ al valor del término precedente, por lo que se trata de una s. aritmética de diferencia $d=2$ y primer término $a_1=-4$; el término general $a_n=a_1 + d\,(n-1)$ es, por tanto, $a_n=-4+2\cdot(n-1)=2\,n-6$ donde $n=1,2,3,\ldots$

d)
El valor de los términos sucesivos corresponde al cuadrado del número ordinal que indica el lugar que ocupa cada uno; así, los términos de la sucesión se pueden escribir de la forma:
$$1^1\,,\,2^2\,,\,3^2\,,\,4^2\,,\,5^2\,,\,6^2\,,\,\ldots$$
y, por consiguiente, podemos escribir el término general de la forma $a_n=n^2$ para $n=1,2,3,\ldots$

d)
Los dos primeros términos de esta sucesión tienen valor igual a $1$ y los términos sucesivos se forman sumando los dos términos precedentes: $1$, $1$, $2=1+1$, $3=2+1$, $5=3+2$ y así sucesivamente. Esta es la famosa sucesión de Fibonacci ( Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, circa 1170 - 1250 ).

$\square$

[nota del autor]