Matemáticas de 3.º de ESO. Resolución de los ejercicios del segundo examen del primer trimestre

Ejercicios resuetos del segundo examen del primer trimestre

[nota del autor]

Proporcionalidad compuesta ( problema de muestra )

Enunciado:
Dos pintores, igualmente eficientes y trabajando a la vez, tardan $30 \; \text{min}$ en pintar un muro $6\; \text{m}^2$. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igual de hábiles ) en pintar un muro de $25 \; \text{m}^2$ ?

Resolución:
Intervienen en este problema tres magnitudes: a) el tiempo empleado en hacer la tarea; b) el àrea del muro que se quiere pintar; y, c) el número de pintores que realizan la tarea ( sin entorpecerse unos a otros ).

Al intervenir más de dos magnitudes proporcionales, se nos plantea un problema de propocinalidad compuesta entre los siguientes pares de magnitudes: i) el timepo empleado y el n úmero de pintores (que es una relación p. inversa); y, ii) el tiempo empleado y el área a pintar (que és una relació de p. directa).

Resolveremos el problema mediante dos pasos encadenados (dos proporciones enlazadas), que son las siguientes:

  i)     Primero, calculamos el tiempo, $t_1$, que tardarían $3$ pintors (en lugar de $2$ pintores ) en pintar $6\; \text{m}^2$ de muro:

    $\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
y, de aquí, vemos que
    $t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$

  ii)     A continuación, calculamos cuánto tiempo tardarían tres pintores ( en lugar de dos ) en pintar $25 \; \text{m}^2$ ( en lugar de $25 \; \text{m}^2$ )

    $\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$

Finalmente, teniendo en cuenta [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, sustituimos este primer resultado en (2) y encontramos que
    $t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
        $=83,\bar{3} \; \text{min}$
        $\approx 1\; \text{h}\;\;24\;\text{min}$

$\blacksquare$

Observación: Tipeo/esquema de resolución de la proporción compuesta:

Nota:     Una forma de notar el inverso de un número $a$ es $\text{inv}(a)=\dfrac{1}{a}$, que también se puede escribir de la forma $a^{-1}$. Ambas notaciones las hemos utilizado en este problema.

$\square$

[nota del autor]