ESO3B - Contenidos de la semana del 12 al 18 de octubre

Un ejercicio sobre funciones cuadráticas

ENUNCIADO. Completar la siguiente tabla con los valores de función, y representar la gráfica de la misma en un diagrama cartesiano:

Responder, además, a las siguientes preguntas:
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?

SOLUCIÓN.

En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$

Gráfica de la función:

a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.

b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$

c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$

d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).

$\square$

Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).

Enunciato:
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).

Resolución:
Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea cero. Imponiendo esta condición:
$$x^2-4\,x+4=0$$
que es una ecuación de segundo grado cuya solución es
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 0}{2}=2$, luego el polinomio tiene una sola raíz, $r=2$, con multiplicidad igual a $2$, y, por tanto, por el Toerema de Factorización, podemos expresar el polinomio dado de la forma
$$P(x)=(x-2)\,(x-2)=(x-2)^2$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Matemáticas de 3.º de ESO. Resolución de los ejercicios del segundo examen del primer trimestre

Ejercicios resuetos del segundo examen del primer trimestre

[nota del autor]