Funciones cuadráticas. Parábolas

ENUNCIADO. Sea la función cuadrática $f(x)=x^2+2x-3$, cuya gráfica es una parábola. Se pide:
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?

SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$

b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$

c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$

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Ejercicio con una función cuadrática

ENUNCIADO. Dada la función cuadrática $f(x)=x^2-4$, se pide:
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función

SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$

b)

c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $

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Un ejercicio sobre funciones cuadráticas

ENUNCIADO. Completar la siguiente tabla con los valores de función, y representar la gráfica de la misma en un diagrama cartesiano:

Responder, además, a las siguientes preguntas:
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?

SOLUCIÓN.

En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$

Gráfica de la función:

a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.

b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$

c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$

d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).

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