Funciones cuadráticas. Parábolas

ENUNCIADO. Sea la función cuadrática $f(x)=x^2+2x-3$, cuya gráfica es una parábola. Se pide:
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?

SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$

b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$

c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$

$\square$