Enunciado:
Sea la función cuadrática $f(x)=x^2-6\,x+8$. Se pide:
a) el valor de cada una de las raíces de la función $f(x)$ ( caso de tenerlas )
b) el valor de la ordenada en el origen de la función $f(x)$
c) las coordenadas del vértice de la parábola ( que es la curva que representa dicha función )
d) describir la recta de simetría de la parábola, ¿ cuál es el valor que toma la abscisa de todos los los puntos que se encuentran en dicha recta ?
e) dibujar el gráfico de dicha función y, también, todos los elementos notables a los que nos hemos referido anteriormente
f) hallar la imagen de $-10$
g) hallar las antiimágenes de $2$
Solución:
a)
Las raíces de $f(x)$ son los valores de $x$ que anulan la función; para encontrarlas, por tanto, imponemos la condición $f(x)=0$ y resolvemos la ecuación.
$x^2-6\,x+8=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2}=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{6+2}{2}=4 \\
\\
\dfrac{6-2}{2}=2 \\
\end{matrix}\right.$
luego la función $f$ tiene dos raíces: $4$ y $2$
b)
La ordenada en el origen de la función dada $f(x)$ es la imagen de $x=0$ por dicha función, esto es, $f(0)=0^2-6\cdot 0 +8=8$
c)
El vértice $V$ de la parábola -- curva que corresponde al trazo de la función dada ( por ser una función polinómica de segundo grado ) -- se sitúa en la recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por el punto medio del segmento $AB$, cuyos puntos extremos tienen las siguientes coordenadas: $A(2,0)$ y $B(4,0)$ ( puntos de corte de la gráfica de $f(x)$ con el eje de abscisas ); así, pues, $x_V=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3$, y, la ordenada de $V$ es la imagen ( por $f$ ) de $x_V$, esto es, $y_V=f(x_V)=f(3)=3^2-6\cdot 3 +8=-1$. Así, pues, el vértice es el punto $V(3,-1)$
d)
En el apartado anterior ya se ha respondido parte de la pregunta, pues, la recta de la que se hablaba ( que contiene al vértice ) es, precisamente, la recta de simetría de la parábola; todos los puntos situados en dicha recta, que es perpendicular al eje de abscisas, tienen abscisa igual a la del vértice de la parábola ( $x_V=3$ ), por lo que la ecuación de la misma viene dada por $x=3$.
e)
f)
$f(-10)=(-10)^2-6\cdot(-10)+8=168$
g)
$f(x)=2 \Leftrightarrow 2=x^2-6x+8 \Leftrightarrow x^2-6x+6=0$ y esto se cumple si y sólo si
$x=\dfrac{(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{60}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{6 \pm 2\,\sqrt{15}}{2}=3\pm \sqrt{15}$
esto es, hay dos antiimagenes para el valor de $y=2$ que son las siguientes:
$$x=\left\{\begin{matrix}
3+\sqrt{15} \\
\\
3-\sqrt{15} \\
\end{matrix}\right.$$
$\square$
[nota del autor]
