Dibujar la gráfica de la función lineal afín a partir de la raíz y de la ordenada en el origen

ENUNCIADO. Dibújese la gráfica de la función lineal afín tal que $3$ sea raíz de dicha función y que la ordenada en el origen tenga el valor $4$

SOLUCIÓN.

Dados dos puntos del plano, determínese la ecuación de la recta que pasa por ellos

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,4)$ y $B(2,3)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Determinar el valor de los coeficientes $m$ y $k$
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $0$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $0$

SOLUCIÓN.
a)
La gráfica de la función lineal dada es la siguiente recta

b)
Las coordenadas de los puntos dados deberán satisfacer la ecuación de la función pedida $$\begin{matrix}A:&4&=&m\cdot 1&+&k \\ B:&3&=&m\cdot 2&+&k\end{matrix}$$ luego para determinar los coeficientes $m$ y $k$ resolveremos el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ 2\,m&+&k&=&3 \end{matrix}\right.$$ Procedemos a resolverlo por reducción. Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por dos, pasamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ &-&k&=&-5 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación obtenida vemos que $$k=5$$ y sustituyendo este valor en la primera encontramos $$m+5=4$$ y por tanto $$m=-1$$

OBSERVACIÓN. Sustituyendo estos resultados en la expresión de la función lineal afín $f(x)=m\,x+k$, vemos que ésta se escribe ( en nuestro caso ) de la forma $f(x)=-x+5$. También podemos decir que la ecuación de la recta en forma explícita es, pues, $$y=-x+5$$

c)
La ordenada pedida es la ordenada en el origen $f(0)$. Sustituyendo $x$ por $0$ en la ecuación encontrada, obtenemos $$f(0)=-0+5=5$$ Esto significa que la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,5)$

d)
Se nos pide que calculemos la raíz de la función $f(x)=-x+5$, para ello igualamos a cero el primer miembro y resolvemos la ecuación $$0=-x+5$$ de donde $x=5$. Quiere decir ésto que la recta corta al eje de abscisas en el punto de coordenadas $(5,0)$

$\square$

Dados dos puntos encontrar la función lineal afín que ...

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$

SOLUCIÓN.

a)

b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.

c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.


Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.

d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.

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Un ejercicio sobre funciones lineales afines

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$

SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$

Ejercicio sobre modelos funcionales de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Una empresa de transports A ofereix els seus serveis amb les següents condicions: l'enviament de cada paquet es cobra a $6$ euros i cal, a més a més, pagar una quota de $20,00$ euros al mes. Una segona empresa B ofereix els seus serveis amb aquestes altres condicions: una quota mensual de $30,00$ i $5\$ euros per cada paquet enviat. A partir de quin nombre de paquets que preveiem enviar convé contractar l'empresa B ?.

Solució
Designem per $x$ el nombre de paquets a enviar i per $y$ la quantitat de diners que ens costa ( incloent la quota de manteniment de contracte ).

Llavors, la funció $y=f(x)$ per a l'empresa A és
    $y=6\,x+20$
que representa una recta $r_A$ de pendent igual a $m_A=6$ ( sis euros per paquet )

i per a l'empresa B,
    $y=5\,x+30$
que representa una recta $r_B$ de pendent igual a $m_B=5$ ( cinc euros per paquet )

Les dues rectes són secants ( els pendents no són iguals i, doncs, les rectes no són paral·leles ), per tant es tallen en un punt $P(x_P,y_P)$. Calculem les coordenades d'aquest punt resolent el sistema d'equacions:

    $\left\{\begin{matrix}y & = & 6\,x & + & 20\\ y & = & 5\,x & + & 30\\ \end{matrix}\right. $

obtenim
    $x=10 \; \text{paquets}$
i
    $y=80$ euros

Llavors, com que el pendent de la recta $r_B$ és més gran que el de la recta $r_A$, fora convenient
contractar l'empresa A per un nombre previst de paquets inferiors a $10$, i, per contra, contractar l'empresa $B$ si el nombre d'enviaments que ens cal fer és superior a $10$.

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[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones lineales afines ( en catalán )

Enunciat:
Considereu una funció lineal afí, $f(x)$, tal que:
    $f(1)=3$
i
    $f^{-1}(5)=4$
Us demanem:
  a) El valor de l'ordenada a l'origen, $f(0)$
  b) El valor de $f^{-1}(0)$ ( arrel de la funció lineal afí )
  c) El pendent de la recta donada el traç de la funció lineal afí
  d) El valor de l'ordenada que correspon a l'abscissa $x=100$, és a dir, $f(100)$
  e) El valor de l'abscissa que correspon a l'ordenada $y=-10$, és a dir, $f^{-1}(-10)$

Solució:
Primer de tot, cal determinar l'equació
    $y = f(x)$
Tenint en compte que la funció lineal afí té per traç una recta, farem ús de la proporcionalitat geomètrica entre els triangles semblants que es configuren en el gràfic en situar els punts $A(1,3)$ i $B(4,5)$, que són les dades del problema, i $P(x,y)$, que és un punt que podem moure pel damunt de la recta i, per tant, el podem ubicar en una posició arbitrària. Llavors, tenint en compte que $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BPP'}$ ( vegeu la figura de sota )

podem escriure la següent proporció directa:
    $\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$
i, posant les dades concretes,
    $\dfrac{x-4}{4-1}=\dfrac{y-5}{5-3}$
simplificant
    $r:\,\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-5}{2}$
que és l'equació ( en forma contínua ) de la recta $r$ que passa pels punts $A$ i $B$
D'aquí, aïllant la variable dependent, $y$, deduïm fàcilment l'equació de la recta en forma explícita
    $y=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
i, per tant, també podem escriure,
    $f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
que podrem emprar per calcular la imatge d'un determinat valor de la variable independent, $x$, o bé per calcular l'antiimatge d'un valor donat de la variable dependent.
--
Nota:     Havent determinat l'equació de la funció, podem dir que tenim concretat el model funcional que lliga una variable amb l'altra.
--
Fet això, ja podem començar a donar resposta a les preguntes:

a)
La imatge de $0$ és
    $f(0)=\dfrac{2}{3}\cdot 0+\dfrac{7}{3}$
          $=\dfrac{7}{3}$
Aquest valor és igual al del coeficient $n$ de l'equació
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
que s'anomena ordenada a l'origen
--
Nota:   Una funció - sigui del tipus que sigui - té una única ordenada a l'origen
--
Identificant, arribem a
    $n=\dfrac{7}{3}$
--
Nota:   Les coordenades del punt d'intersecció amb l'eix d'ordenades, $Oy$, són
        $(0,\dfrac{7}{3})$
--

b)
Si l'ordenada pren el valor $0$, resolent l'equació, podem determinar quin valor d'abscissa li correspon:
    $0=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $x=-\dfrac{7}{2}$
és a dir, l'antiimatge de $0$ és
    $f^{-1}(0)=-\dfrac{7}{2}$
Nota:   Com ja s'ha comentat a l'enunciat, el valor d'aquesta abscissa correspon a la única arrel o zero de funció ( abscissa del punt d'intersecció del seu traç amb l'eix d'abscisses $Ox$ ) que té aquesta funció lineal afí ( Una funció lineal afí té, com a màxim, una arrel ).

c)
El pendent de la recta $r$ correspon al valor del coeficient del terme de grau u, $m$, de l'equació $y=f(x)$, que pren la forma tipus
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
per tant
    $m=\dfrac{2}{3}$

d)
El valor de la imatge de $100$ és
    $f(100)=\dfrac{2}{3}\cdot 100+\dfrac{7}{3}$
        $=\dfrac{207}{3}$

e)
El valor de l'antiimatge de $-10$ el trobem resolent l'equació
    $-10=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\big(\dfrac{7}{3}+10\big)$
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\dfrac{37}{3}$
i, per tant,
    $x=-\dfrac{37}{2}$
és a dir
    $f^{-1}(-10)=-\dfrac{37}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Sea la función lineal afín $f(x)=-3\,x+6$ ( una recta ). Se pide ...

Enunciado:
Sea la función lineal afín $f(x)=-3\,x+6$ ( una recta ). Se pide:
a) las coordenadas de los puntos de corte con los ejes $Ox$ y $Oy$
b) el valor de la pendiente y el valor de la ordenada en el origen de la recta que representa dicha función
c) representar gráficamente dicha función

Solución:

a)

Denotemos por $A$ el punto de corte con el eje de abscisas; entonces, como $y_A=0$, $x_A$ viene dada por la solución de la ecuación $0=-3\,x+6 \Leftrightarrow x=2$; es decir, $x_A=2$. Por tanto, el punto de corte con el eje de abscisas es $A(2,0)$

Denotando por $B$ el punto de corte con el eje de ordenadas, sabemos que $x_B=0$, luego $y_B=f(x_B)=f(0)=-3\cdot 0+6=6$, esto es, el punto de corte de dicha recta con el eje de ordenadas es $B(0,6)$

b)
La ecuación de una recta ( función lineal afín ), en el plano, tiene la forma ( explícita ) $r:\,y=m\,x+k$, siendo $m$ la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen, luego comparando la ecuación dada, $y=-3\,x+6$ con la ecuación tipo e identificando el valor de los coeficientes obtenemos $m=-3$ y $k=6$.

c)

$\square$

[nota del autor]

Representar gráficamente las funciones: a) $f(x)=2\,x-5$ b) $g(x)=(x-2)^2-3$ c) $h(x)=2^{x-1}$ e) $l(x)=\dfrac{1}{x-1}$

Enunciado:
Representar gráficamente las funciones que abajo se indican, calculando, para cada una de ellas, las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente:
$$\{-4\,,\,-3\,,\,-2\,,\,-1\,,\,0\,,\,1\,,\,2\,,\,3\,,4\}$$
Organizar en una tabla numérica los pares de valores que obtengáis ( que son las coordenadas de un conjunto de puntos del plano ), y, a partir de dichos puntos, que debéis representar en un diagrama cartesiano ( un diagrama para cada función ), se os pide que perfiléis el trazo ( la curva ) para cada una de dichas funciones, indicando cuál es el nombre con el que se conocen tales curvas:

a) $f(x)=2\,x-5$
b) $g(x)=(x-2)^2-3$
c) $h(x)=2^{x-1}$
e) $l(x)=\dfrac{1}{x-1}$


Solución:

Nota:   Se omiten las tablas numéricas, pues los valores de las coordenadas se han indicado en el propio gráfico

a)
Función de proporcionalidad directa ( función lineal afín )

b)
Función polinómica de segundo grado ( su trazo corresponde a una parábola con eje de simetría perpendicular al eje de abscisas )

c)
Función exponencial; en este caso, monótona creciente

d)
Función de proporcionalidad inversa ( su trazo corresponde a una hipérbola )

$\square$

[nota del autor]