Ejercicio sobre funciones de proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Comproveu que les variables $x$ i $y$ són inversament proporcionals, tenint en compte que tres punts donats del traç de la funció $y=f(x)$ en un diagrama cartesià són: $A_{1}(1,3)$, $A_{2}(2,\frac{3}{2})$ i $A_{3}(3,1)$. Quant val la constant de proporcionalitat inversa ? Quant val la imatge de $-3$ ?.

Solució:
Si entre les variables $x$ i $y$ hi ha una relació de proporcionalitat inversa, la funció $f(x)$ ha de ser del tipus
    $y=\dfrac{k}{x} \Rightarrow y \cdot x=k$
on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa
Llavors les coordenades dels tres punts donats hauran de ser tals que
    $x_1\,y_1=x_2\,y_2=x_2\,y_2$
Vegem-ho:
    $1\cdot 3 \overset{?}{=} 2 \cdot \dfrac{3}{2} \overset{?}{=} 3 \cdot 1$
efectivament, es compleix la doble igualtat, que, com es veu fàcilment, és igual a $3$; aquest valor és, precisament, el de la constant de proporcionalitat $k$.

Finalment, per trobar la imatge de $-3$, és a dir, $f(-3)$, cal fer ús de l'estructura de la funció, que, havent calculat ja el valor de $k$, que és $3$, és
    $f(x)=\dfrac{3}{x}$
Llavors, per a $x=-3$, trobem
    $f(-3)=\dfrac{3}{-3}=-1$

  Comprovació:
    $1\cdot 3 = 2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3 \cdot 1 = -3 \cdot (-1)=3$

$\square$

[nota del autor]

Representar gráficamente las funciones: a) $f(x)=2\,x-5$ b) $g(x)=(x-2)^2-3$ c) $h(x)=2^{x-1}$ e) $l(x)=\dfrac{1}{x-1}$

Enunciado:
Representar gráficamente las funciones que abajo se indican, calculando, para cada una de ellas, las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente:
$$\{-4\,,\,-3\,,\,-2\,,\,-1\,,\,0\,,\,1\,,\,2\,,\,3\,,4\}$$
Organizar en una tabla numérica los pares de valores que obtengáis ( que son las coordenadas de un conjunto de puntos del plano ), y, a partir de dichos puntos, que debéis representar en un diagrama cartesiano ( un diagrama para cada función ), se os pide que perfiléis el trazo ( la curva ) para cada una de dichas funciones, indicando cuál es el nombre con el que se conocen tales curvas:

a) $f(x)=2\,x-5$
b) $g(x)=(x-2)^2-3$
c) $h(x)=2^{x-1}$
e) $l(x)=\dfrac{1}{x-1}$


Solución:

Nota:   Se omiten las tablas numéricas, pues los valores de las coordenadas se han indicado en el propio gráfico

a)
Función de proporcionalidad directa ( función lineal afín )

b)
Función polinómica de segundo grado ( su trazo corresponde a una parábola con eje de simetría perpendicular al eje de abscisas )

c)
Función exponencial; en este caso, monótona creciente

d)
Función de proporcionalidad inversa ( su trazo corresponde a una hipérbola )

$\square$

[nota del autor]