Dados dos puntos del plano, determínese la ecuación de la recta que pasa por ellos

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,4)$ y $B(2,3)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Determinar el valor de los coeficientes $m$ y $k$
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $0$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $0$

SOLUCIÓN.
a)
La gráfica de la función lineal dada es la siguiente recta

b)
Las coordenadas de los puntos dados deberán satisfacer la ecuación de la función pedida $$\begin{matrix}A:&4&=&m\cdot 1&+&k \\ B:&3&=&m\cdot 2&+&k\end{matrix}$$ luego para determinar los coeficientes $m$ y $k$ resolveremos el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ 2\,m&+&k&=&3 \end{matrix}\right.$$ Procedemos a resolverlo por reducción. Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por dos, pasamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ &-&k&=&-5 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación obtenida vemos que $$k=5$$ y sustituyendo este valor en la primera encontramos $$m+5=4$$ y por tanto $$m=-1$$

OBSERVACIÓN. Sustituyendo estos resultados en la expresión de la función lineal afín $f(x)=m\,x+k$, vemos que ésta se escribe ( en nuestro caso ) de la forma $f(x)=-x+5$. También podemos decir que la ecuación de la recta en forma explícita es, pues, $$y=-x+5$$

c)
La ordenada pedida es la ordenada en el origen $f(0)$. Sustituyendo $x$ por $0$ en la ecuación encontrada, obtenemos $$f(0)=-0+5=5$$ Esto significa que la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,5)$

d)
Se nos pide que calculemos la raíz de la función $f(x)=-x+5$, para ello igualamos a cero el primer miembro y resolvemos la ecuación $$0=-x+5$$ de donde $x=5$. Quiere decir ésto que la recta corta al eje de abscisas en el punto de coordenadas $(5,0)$

$\square$