Aplicaciones del teorema de Pitágoras

ENUNCIADO. Resolver los siguientes problemas de geometría:
a) Calcular el área de la región del plano comprendida entre una circunferencia de $4$ decímetros de radio y el contorno de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
b) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide $3$ decímetros, y la hipotenusa mide $5$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho triángulo.

SOLUCIÓN
a)
La figura muestra el cuadrado y la circunferencia que lo circunscribe

El área coloreada es igual al área del círculo menos el área del cuadrado, esto es, $$A=\pi\cdot 4^2 - \ell^2$$ es decir $$A=16\,\pi - \ell^2\quad \quad (1)$$ Vemos pues que debemos calcular $\ell$ para poder obtener el área pedida; para ello, fijémonos en el triángulo rectángulo isósceles ( catetos con líneas discontinuas ): por el teorema de Pitágoras $$x^2+x^2=4^2$$ luego $$2\,x^2=16$$ y por tanto $$x^2=8$$ extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros $$x=\sqrt{8}$$ Ahora bien, $$\ell=2\,x$$ y por tanto $$\ell=2\,\sqrt{8}\,\text{dm}$$ Finalmente, sustituyendo en (1), $$A=16\,\pi-(2\,\sqrt{8})^2=16\,\pi-4\cdot 8=16\,\pi-32\approx 18\; \text{dm}^2$$

b)
El área del triángulo de la figura es $$A=\dfrac{3\,x}{2}\quad \quad (2)$$ y el perímetro es $$P=5+3+x \quad \quad (3)$$ Necesitamos por tanto calcular el valor de $x$. Observando la figura

vemos que, por el teorema de Pitágoras, $$5^2=3^2+x^2$$ luego $$x^2=5^2-3^2$$ y por tanto $$x^2=16$$ Extrayendo la raíz cuadrada $$x=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$$
Finalmente, sustituyendo el valor encontrado en (1) y en (2), se obtiene: $$A=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6\,\text{dm}^2$$ y $$P=5+3+4=12\,\text{dm}$$
$\square$