Ejercicios rutinarios de resolución de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+5\,x+4=0$
b) $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$

SOLUCIÓN.

a) La ecuación pedida es polinómica de segundo grado, de coeficientes: $a=1$ ( c. del término de segundo grado ), $b=5$ ( c. del término de primer grado ) y $c=4$ ( c. del término de grado cero ). Sabemos que $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a} \quad \quad (1)$$ luego $$x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{-5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$ por tanto la solución es el conjunto de números $\{-1\,,\,-4\}$

NOTA. Podemos resolver la ecuación sin necesidad de recordar la fórmula (1). En efecto, la ecuación dada puede escribirse de la forma $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+4=0$$ esto es $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$$ entonces $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$ Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro, $$x+\dfrac{5}{2}=\pm\,\dfrac{3}{2}$$ y despejando la incógnita $$x=-\dfrac{5}{2} \pm \,\dfrac{3}{2}=\dfrac{-5 \pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$

OBSERVACIÓN. Ahora que conocemos la solución de la ecuación $x^2+5\,x+4=0$, sabemos cuáles son las raíces del polinomio $x^2+5\,x+4$, pudiendo escribir este polinomio como producto de los factores polinómicos de primer grado $x-(-1)$ y $x-(-4)$, es decir, $x^2+5\,x+4=(x-(-1))\cdot (x-(-4))$

b)
Como los coeficientes de los términos de la ecuación pedida, $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$, son fraccionarios, procedemos a transformar la ecuación pedida en una ecuación equivalente ( pero más sencilla, con coeficientes enteros ) multiplicando ambos miembros de la igualdad por $\text{mcm}(3,15,9)=45$

  $45\cdot \dfrac{x}{3}-45 \cdot \dfrac{1-x}{15}=45 \cdot \dfrac{x+1}{9}$

    $15\,x-3\,(1-x)=5\,(x+1)$

      $15\,x-3+3\,x=5\,x+5$

        $15\,x+3\,x-5\,x=5+3$

          $13\,x=8$

            $x=\dfrac{8}{13}$

$\square$