Dados dos puntos encontrar la función lineal afín que ...

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$

SOLUCIÓN.

a)

b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.

c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.


Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.

d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.

$\square$