Ejercicio sobre funciones lineales afines ( en catalán )

Enunciat:
Considereu una funció lineal afí, $f(x)$, tal que:
    $f(1)=3$
i
    $f^{-1}(5)=4$
Us demanem:
  a) El valor de l'ordenada a l'origen, $f(0)$
  b) El valor de $f^{-1}(0)$ ( arrel de la funció lineal afí )
  c) El pendent de la recta donada el traç de la funció lineal afí
  d) El valor de l'ordenada que correspon a l'abscissa $x=100$, és a dir, $f(100)$
  e) El valor de l'abscissa que correspon a l'ordenada $y=-10$, és a dir, $f^{-1}(-10)$

Solució:
Primer de tot, cal determinar l'equació
    $y = f(x)$
Tenint en compte que la funció lineal afí té per traç una recta, farem ús de la proporcionalitat geomètrica entre els triangles semblants que es configuren en el gràfic en situar els punts $A(1,3)$ i $B(4,5)$, que són les dades del problema, i $P(x,y)$, que és un punt que podem moure pel damunt de la recta i, per tant, el podem ubicar en una posició arbitrària. Llavors, tenint en compte que $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BPP'}$ ( vegeu la figura de sota )

podem escriure la següent proporció directa:
    $\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$
i, posant les dades concretes,
    $\dfrac{x-4}{4-1}=\dfrac{y-5}{5-3}$
simplificant
    $r:\,\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-5}{2}$
que és l'equació ( en forma contínua ) de la recta $r$ que passa pels punts $A$ i $B$
D'aquí, aïllant la variable dependent, $y$, deduïm fàcilment l'equació de la recta en forma explícita
    $y=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
i, per tant, també podem escriure,
    $f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
que podrem emprar per calcular la imatge d'un determinat valor de la variable independent, $x$, o bé per calcular l'antiimatge d'un valor donat de la variable dependent.
--
Nota:     Havent determinat l'equació de la funció, podem dir que tenim concretat el model funcional que lliga una variable amb l'altra.
--
Fet això, ja podem començar a donar resposta a les preguntes:

a)
La imatge de $0$ és
    $f(0)=\dfrac{2}{3}\cdot 0+\dfrac{7}{3}$
          $=\dfrac{7}{3}$
Aquest valor és igual al del coeficient $n$ de l'equació
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
que s'anomena ordenada a l'origen
--
Nota:   Una funció - sigui del tipus que sigui - té una única ordenada a l'origen
--
Identificant, arribem a
    $n=\dfrac{7}{3}$
--
Nota:   Les coordenades del punt d'intersecció amb l'eix d'ordenades, $Oy$, són
        $(0,\dfrac{7}{3})$
--

b)
Si l'ordenada pren el valor $0$, resolent l'equació, podem determinar quin valor d'abscissa li correspon:
    $0=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $x=-\dfrac{7}{2}$
és a dir, l'antiimatge de $0$ és
    $f^{-1}(0)=-\dfrac{7}{2}$
Nota:   Com ja s'ha comentat a l'enunciat, el valor d'aquesta abscissa correspon a la única arrel o zero de funció ( abscissa del punt d'intersecció del seu traç amb l'eix d'abscisses $Ox$ ) que té aquesta funció lineal afí ( Una funció lineal afí té, com a màxim, una arrel ).

c)
El pendent de la recta $r$ correspon al valor del coeficient del terme de grau u, $m$, de l'equació $y=f(x)$, que pren la forma tipus
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
per tant
    $m=\dfrac{2}{3}$

d)
El valor de la imatge de $100$ és
    $f(100)=\dfrac{2}{3}\cdot 100+\dfrac{7}{3}$
        $=\dfrac{207}{3}$

e)
El valor de l'antiimatge de $-10$ el trobem resolent l'equació
    $-10=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\big(\dfrac{7}{3}+10\big)$
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\dfrac{37}{3}$
i, per tant,
    $x=-\dfrac{37}{2}$
és a dir
    $f^{-1}(-10)=-\dfrac{37}{2}$

$\square$

[nota del autor]