ENUNCIADO:
¿Es 6 un número triangular? ¿Lo es 10? ¿Lo es 18?
SOLUCIÓN
Podemos expresar el número 6 del modo
1
11
111
Así que, sí lo es.
Otra forma de verlo es la siguiente: como la configuración anterior es parte de un cuadrado 3 \times 3
1 . .
11 .
111
al ser el número de '1os' la suma de 1+2+3, que es la suma de los tres primeros números naturales consecutivos, podemos expresar 6 de la forma \dfrac{3\cdot 4}{2}. Por lo tanto, todo número triangular deberá ser de la de la forma \dfrac{n\,(n+1)}{2}, donde n es un número entero no negativo y distinto de 0.
Vamos a ver si se cumple esta condición para el número 10:
\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 10
Resolviendo la ecuación
\dfrac{n\,(n+1)}{2}=10
vemos que
n^2+n=20
n^2+n-20=0
n=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{-1\pm 9}{2}
Como una de los valores de la solución de dicha ecuación de segundo grado es 4, que es un número entero no negativo y distinto de 0, podemos decir que 10 es un número triangular.
Veamos si es así en el caso de 18
\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 18
Resolviendo la ecuación
\dfrac{n\,(n+1)}{2}=18
vemos que
n^2+n=36
n^2+n-36=0
n=\dfrac{-1\pm \sqrt{145}}{2} \notin \mathbb{Z}
luego 18 no es un número triangular. \square
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