Acerca de los números triangulares

ENUNCIADO:
¿Es $6$ un número triangular? ¿Lo es $10$? ¿Lo es $18$?

SOLUCIÓN
Podemos expresar el número $6$ del modo

1
11
111

Así que, sí lo es.

Otra forma de verlo es la siguiente: como la configuración anterior es parte de un cuadrado $3 \times 3 $

1 . .
11 .
111

al ser el número de '1os' la suma de $1+2+3$, que es la suma de los tres primeros números naturales consecutivos, podemos expresar $6$ de la forma $\dfrac{3\cdot 4}{2}$. Por lo tanto, todo número triangular deberá ser de la de la forma $\dfrac{n\,(n+1)}{2}$, donde $n$ es un número entero no negativo y distinto de $0$.

Vamos a ver si se cumple esta condición para el número $10$:
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 10$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=10$$
vemos que
$n^2+n=20$
  $n^2+n-20=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{-1\pm 9}{2}$
Como una de los valores de la solución de dicha ecuación de segundo grado es $4$, que es un número entero no negativo y distinto de $0$, podemos decir que $10$ es un número triangular.

Veamos si es así en el caso de $18$
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 18$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=18$$
vemos que
$n^2+n=36$
  $n^2+n-36=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{145}}{2} \notin \mathbb{Z}$
luego $18$ no es un número triangular. $\square$

[nota del autor]