Los números triangulares y las sucesiones aritméticas

Hice esta fotografía de este bonito elemento decorativo en un área de descanso de la autovía A2, camino de Barcelona.

Los números triangulares, como por ejemplo $15$ ( representado en la fotografía como la suma del número de barriles de cada una de las cinco filas ), obedece a la expresión de la suma de un conjunto de términos consecutivos de una sucesión aritmética; en el caso que nos ocupa: $15=1+2+3+4+5=\dfrac{1+5}{2}\cdot 5$ ( producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término ).

En general, decimos que un número, $\tau$, es triangular si puede escribirse de la forma $\tau=\dfrac{1+n}{2}\cdot n$, donde $n$ es cualquier número entero no negativo. Así, podemos hablar de la sucesión de los números triangulares, cuyo término general es $f(n)=\dfrac{n(1+n)}{2}$, para $n\in \mathbb{N}$, y con el cual es muy fácil ir obteniendo tantos números triangulares como queramos: basta dar un valor concreto a $n$; por ejemplo, para $n:=12$, obtenemos el número triangular $f(12)=\dfrac{12\cdot (12+1)}{2}=78$. $\square$

Acerca de los números triangulares

ENUNCIADO:
¿Es $6$ un número triangular? ¿Lo es $10$? ¿Lo es $18$?

SOLUCIÓN
Podemos expresar el número $6$ del modo

1
11
111

Así que, sí lo es.

Otra forma de verlo es la siguiente: como la configuración anterior es parte de un cuadrado $3 \times 3 $

1 . .
11 .
111

al ser el número de '1os' la suma de $1+2+3$, que es la suma de los tres primeros números naturales consecutivos, podemos expresar $6$ de la forma $\dfrac{3\cdot 4}{2}$. Por lo tanto, todo número triangular deberá ser de la de la forma $\dfrac{n\,(n+1)}{2}$, donde $n$ es un número entero no negativo y distinto de $0$.

Vamos a ver si se cumple esta condición para el número $10$:
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 10$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=10$$
vemos que
$n^2+n=20$
  $n^2+n-20=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{-1\pm 9}{2}$
Como una de los valores de la solución de dicha ecuación de segundo grado es $4$, que es un número entero no negativo y distinto de $0$, podemos decir que $10$ es un número triangular.

Veamos si es así en el caso de $18$
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 18$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=18$$
vemos que
$n^2+n=36$
  $n^2+n-36=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{145}}{2} \notin \mathbb{Z}$
luego $18$ no es un número triangular. $\square$

[nota del autor]