Un ejemplo sencillo de demostración deductiva en teoría elemental de números.

ENUNCIADO. Demuéstrese que, dados dos números enteros cualesquiera $a$ y $b$, y un número entero $c\neq 0$, entonces si $c$ divide a $a$ y $c$ divide a $b$, se cumple que $c$ divide a $a+b$

SOLUCIÓN.
Si $c\neq 0$ divide a $a$, entonces puede encontrarse un número entero $m$ de tal manera que $a=m\,c$ (y, por tanto, el resto de la división $a \div c$ es $0$); de manera análoga, como $c\neq 0$ divide a $b$, entonces existe un número entero $n$ tal que $b=n\,c$. Por tanto, $a\,b = m\,c+n\,c=(m+n)\,c$, y como $k:=m+n$ es obviamente un número entero, $a\,b=k\,c$, de donde concluimos que $c$ divide a $a+b$. $\square$
-oOo-COMENTARIO (acerca de la notación al uso). En teoría de números, para expresar que un número entero $\ell$ divide a otro número entero $p$ suele ser habitual la siguiente notación $\ell|p$. En otros ejercicios que seguirán a éste se utilizará esta notación. Por cierto, al dividir $\ell$ a $p$, $p$ es múltiplo de $\ell$, lo cual se expresa de la forma $p=(\dot{\ell})$.

El producto de dos números pares consecutivos es igua a ...

Enunciat:
El producte de dos nombres parells consecutius és igual a 224. Determineu aquest nombres.

Resolució:

Si anomenem $n$ a un dels dos nombres, a l'altre li haurem de dir $n+2$

i d'acord amb l'enunciat, plantejarem la següent equació
$n \, (n+2)=224$
desfent el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), agrupant en un mateix membre de la igualtat, i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, escriurem l'equació anterior de la forma
$n^2+2n-224=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$an^2+bn+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=2$
$c=-224$
tenim
$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -16\\ \\14\\ \end{matrix}\right.$

Per tant, trobem dos parells de nombres com a solució del problema (una parella de nombres negatius) i una altra de nombres positius:
    si $n=-16$, llavors $m=-14$ (que és el nombre parell consecutiu a $-16$)
    si $n=14$, llavors $m=16$ (que és el nombre parell consecutiu a $14$)
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de divisibilidad con números enteros. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu dos nombres enters que compleixin les següents condicions: a) la seva suma és igual a $-11$, i, b) el quaocient i el residu que s'obtenen en fer la divisió entera són $-2$ i $1$, respectivament.

Solució:
Anomenem $a$ i $b$ els dos nombres enters que volem trobar. Llavors podem escriure les següents equacions a partir de la informació de l'enunciat:
    $a+b=-11$
i
    $b=-2\,b+1$   (teorema de la divisió)
és a dir
    $\left\{\begin{matrix}a &+&b&=&-11 \\ a &+&2\,b&=&1\\ \end{matrix}\right.$
Restant la primera de la segona s'obté, fàcilment, $b=12$
i, d'aquí, $a=-23$
$\square$

[nota del autor]

Acerca de los números triangulares

ENUNCIADO:
¿Es $6$ un número triangular? ¿Lo es $10$? ¿Lo es $18$?

SOLUCIÓN
Podemos expresar el número $6$ del modo

1
11
111

Así que, sí lo es.

Otra forma de verlo es la siguiente: como la configuración anterior es parte de un cuadrado $3 \times 3 $

1 . .
11 .
111

al ser el número de '1os' la suma de $1+2+3$, que es la suma de los tres primeros números naturales consecutivos, podemos expresar $6$ de la forma $\dfrac{3\cdot 4}{2}$. Por lo tanto, todo número triangular deberá ser de la de la forma $\dfrac{n\,(n+1)}{2}$, donde $n$ es un número entero no negativo y distinto de $0$.

Vamos a ver si se cumple esta condición para el número $10$:
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 10$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=10$$
vemos que
$n^2+n=20$
  $n^2+n-20=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{-1\pm 9}{2}$
Como una de los valores de la solución de dicha ecuación de segundo grado es $4$, que es un número entero no negativo y distinto de $0$, podemos decir que $10$ es un número triangular.

Veamos si es así en el caso de $18$
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 18$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=18$$
vemos que
$n^2+n=36$
  $n^2+n-36=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{145}}{2} \notin \mathbb{Z}$
luego $18$ no es un número triangular. $\square$

[nota del autor]