Los números triangulares y las sucesiones aritméticas

Hice esta fotografía de este bonito elemento decorativo en un área de descanso de la autovía A2, camino de Barcelona.

Los números triangulares, como por ejemplo $15$ ( representado en la fotografía como la suma del número de barriles de cada una de las cinco filas ), obedece a la expresión de la suma de un conjunto de términos consecutivos de una sucesión aritmética; en el caso que nos ocupa: $15=1+2+3+4+5=\dfrac{1+5}{2}\cdot 5$ ( producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término ).

En general, decimos que un número, $\tau$, es triangular si puede escribirse de la forma $\tau=\dfrac{1+n}{2}\cdot n$, donde $n$ es cualquier número entero no negativo. Así, podemos hablar de la sucesión de los números triangulares, cuyo término general es $f(n)=\dfrac{n(1+n)}{2}$, para $n\in \mathbb{N}$, y con el cual es muy fácil ir obteniendo tantos números triangulares como queramos: basta dar un valor concreto a $n$; por ejemplo, para $n:=12$, obtenemos el número triangular $f(12)=\dfrac{12\cdot (12+1)}{2}=78$. $\square$