Un vehículo se desplaza por una autopista ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un vehicle es es mou per una autopista. Surt d'un lloc P ( amb destinació a un altre lloc Q), desplaçant-se a raó de cent quilòmetres cada seixanta minuts ( velocitat constant ). Un segon vehicle, que es desplaça a raó de de cent-deu quilòmetres cada seixanta minuts, surt del punt Q, trenta minuts més tard que el primer, amb destinació P. La distància entre P i Q és de cent quilòmetres. A quina hora es creuaran ? A quina distància del punt A ?.

Solució:
Anomenem $x$ a la distància del punt que es creuen al punt P, i, $t$ a l'interval de temps que passa des que surt el vehicle amb origen en el lloc P fins que es creuen. Llavors podem plantejar les següents proporcions, posant als numerador les distàncies (en quilòmetres) i als denominadors els intervals de temps ( en minuts):

    i)   $\dfrac{100}{60}=\dfrac{x}{t}$

    ii)   $\dfrac{110}{60}=\dfrac{100-x}{t-30}$


Aquestes dues proporcions ens donen un sistema de dues equacions amb dues incògnites:
      $\left\{\begin{matrix}3\,x &-& 5\,t & = & 0\\ 6\,x &+& 11\,t & = & 930\\ \end{matrix}\right.$

que té com a solució
      $t=\dfrac{310}{7}\, \text{min} \approx 44,29 \; \text{min}$
                              $ \approx 44 \; \text{min}\; \text{i}\; 17 \; \text{s}$
      $x=\dfrac{1550}{21}\, \text{km} \approx 73 \, \text{km} \; \text{i}\; 810 \; \text{m}$

Conclusió:   Es troben a $73 \, \text{km} \; \text{i}\; 810 \; \text{m}$ del punt P,
                    a les $08:44:17 \; \text{h}$

$\square$

[nota del autor]