Enunciado:
Sea la función cuadrática f(x)=x^2-6\,x+8. Se pide:
a) el valor de cada una de las raíces de la función f(x) ( caso de tenerlas )
b) el valor de la ordenada en el origen de la función f(x)
c) las coordenadas del vértice de la parábola ( que es la curva que representa dicha función )
d) describir la recta de simetría de la parábola, ¿ cuál es el valor que toma la abscisa de todos los los puntos que se encuentran en dicha recta ?
e) dibujar el gráfico de dicha función y, también, todos los elementos notables a los que nos hemos referido anteriormente
f) hallar la imagen de -10
g) hallar las antiimágenes de 2
Solución:
a)
Las raíces de f(x) son los valores de x que anulan la función; para encontrarlas, por tanto, imponemos la condición f(x)=0 y resolvemos la ecuación.
x^2-6\,x+8=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2}=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{6+2}{2}=4 \\
\\
\dfrac{6-2}{2}=2 \\
\end{matrix}\right.
luego la función f tiene dos raíces: 4 y 2
b)
La ordenada en el origen de la función dada f(x) es la imagen de x=0 por dicha función, esto es, f(0)=0^2-6\cdot 0 +8=8
c)
El vértice V de la parábola -- curva que corresponde al trazo de la función dada ( por ser una función polinómica de segundo grado ) -- se sitúa en la recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por el punto medio del segmento AB, cuyos puntos extremos tienen las siguientes coordenadas: A(2,0) y B(4,0) ( puntos de corte de la gráfica de f(x) con el eje de abscisas ); así, pues, x_V=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3, y, la ordenada de V es la imagen ( por f ) de x_V, esto es, y_V=f(x_V)=f(3)=3^2-6\cdot 3 +8=-1. Así, pues, el vértice es el punto V(3,-1)
d)
En el apartado anterior ya se ha respondido parte de la pregunta, pues, la recta de la que se hablaba ( que contiene al vértice ) es, precisamente, la recta de simetría de la parábola; todos los puntos situados en dicha recta, que es perpendicular al eje de abscisas, tienen abscisa igual a la del vértice de la parábola ( x_V=3 ), por lo que la ecuación de la misma viene dada por x=3.
e)
f)
f(-10)=(-10)^2-6\cdot(-10)+8=168
g)
f(x)=2 \Leftrightarrow 2=x^2-6x+8 \Leftrightarrow x^2-6x+6=0 y esto se cumple si y sólo si
x=\dfrac{(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{60}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{6 \pm 2\,\sqrt{15}}{2}=3\pm \sqrt{15}
esto es, hay dos antiimagenes para el valor de y=2 que son las siguientes:
x=\left\{\begin{matrix}
3+\sqrt{15} \\
\\
3-\sqrt{15} \\
\end{matrix}\right.
\square
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