La suma de las edades de cuatro hermanos es igual a $38$ y la diferencia entre el pequeño y el tercero es de $3$ años. Sabiendo, además, que las edades de los cuatro hermanos están en progresión aritmética, ¿ cuál es la edad de cada uno ?.

Enunciado:
La suma de las edades de cuatro hermanos es igual a $38$ y la diferencia entre el pequeño y el tercero es de $3$ años. Sabiendo, además, que las edades de los cuatro hermanos están en progresión aritmética, ¿ cuál es la edad de cada uno ?.

Solución:

Denotemos por $a_1$, $a_2$, $a_3$ y $a_4$ las edades de los cuatros hermanos, que son los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética de diferencia $d$, esto es, $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=d$. Sabemos que la suma de los $n$ primeros términos de una sucesión aritmética es $s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\,n$, y, por tanto la suma de los cuatro primeros términos de la sucesión del problema se puede escribir de la forma $s_4=\dfrac{a_1+a_4}{2} \cdot 4$, y como sabemos que $s_4=38$, nos queda $a_1+a_4=19$   (1); ahora bien, $a_4=a_3+d=a_2+2\,d=a_1+3\,d$, luego de (1) podemos escribir, $a_1+(a_1+3\,d)=19$, y simplificando, $2\,a_1+3\,d=19$   (2). Por otra parte, si nos dicen que $a_3-a_1=3$, entonces $a_2+d-a_1=3$ con lo cual $a_1+2\,d-a_1=3 \Rightarrow d=\dfrac{3}{2}=1,5$, es decir, se llevan un año y medio entre el segundo y el primero; entre el tercero y el segundo, y entre el cuarto y el tercero.

Conociendo ya cuál es la diferencia $d$ de dicha sucesión podemos calcular, ahora, las edades de cada uno; basta sustituir en (2): $2\,a_1+3\cdot \dfrac{3}{2}=19$ de donde, despejando $a_1$, se obtiene $a_1=\dfrac{29}{4}=7,25$ años ( $7$ años y $3$ meses); por lo tanto, $a_2=\dfrac{29}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{35}{4}=8,75$ años ( $8$ años y $9$ meses ), y, de aquí, $a_3=\dfrac{35}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{41}{4}=10,25$ años ( $10$ años $3$ meses ) y $a_4=\dfrac{41}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{47}{4}=11,75$ años ( $11$ años y $9$ meses ). $\square$

[nota del autor]