Lanzamos dos dados de parchís y sumamos las puntuaciones. ¿ Cuáles son los posibles resultados ? ¿ Cuáles son sus probabilidades ?.

Enunciado
Lanzamos dos dados de parchís y sumamos las puntuaciones. ¿ Cuáles son los posibles resultados ? ¿ Cuáles son sus probabilidades ?.

Resolución
Los resultados posibles son los números naturales del $\{2,3,4,...,12\}$ y para determinar la probabilidad de cada uno de estos sucesos es necesario utilizar la regla de Laplace; dicha regla nos dice que la probabilidad de cada suceso ( cada uno de los resultados indicados ) es la razón entre el número de maneras de obtenerlo y el número total de maneras de obtener todos los resultados; por ello, nos viene bien la ayuda de la siguiente tabla con la cual vemos con claridad cómo y de cuántas maneras podemos obtener cada resultado:

Haciendo el recuenta de los que dan cada uno de los resultados favorables a cada uno de los valores de la suma de las puntuaciones de los dos dados, podemos escribir, directamente, las probabilidades pedidas, según la regla de Laplace ( hay $6\cdot 6 = 36$ posibles resultados ):

    $P(\text{"suma=2"})=\dfrac{1}{36}$

      $P(\text{"suma=3"})=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$

        $P(\text{"suma=4"})=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$

          $P(\text{"suma=5"})=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$

            $P(\text{"suma=6"})=\dfrac{5}{36}$

              $P(\text{"suma=7"})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

                $P(\text{"suma=8"})=\dfrac{5}{36}$

                  $P(\text{"suma=9"})=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$

                    $P(\text{"suma=10"})=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$

                      $P(\text{"suma=11"})=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$

                        $P(\text{"suma=12"})=\dfrac{1}{36}$

Observaciones:

(1) El lector puede comprobar que la suma de todas estas probabilidades es igual a $1$, como debe ser.

(2) Hemos realizado el recuento del número de veces que aparece cada resultado a partir de una tabla de doble entrada. La interpretación del recuento así efectuado podría dar pie a una cierta controversia, que es la siguiente. Como se supone que los dos dados son idénticos, cabe que nos hagamos unas cuántas preguntas que vamos a poner en claro al final de este comentario, concluyendo que la realización de la tabla es sólo el resultado de pensar adecuadamente la naturaleza del problema, pues ésta es nada más que un resumen que hay que manejar con precaución. Veamos esas preguntas: ¿ Por qué tenemos en cuenta la multiplicidad de resultados para un mismo valor de las sumas de la diagonal principal ? [ Por ejemplo, la suma igual a $4$ puede venir de los tres resultados siguientes: (1,3), (3,1) y (2,2); entonces, si tanto (1,3) como (3,1) aportan probabilidad ] y, sin embargo, no la tenemos en los resultados de la diagonal principal de la tabla (2,4,6,8,10 y 12) ?. Es decir, ¿ por qué, al distinguir un dado de otro ( pongamos que uno es rojo y el otro verde, no por ello planteando otro problema distinto), no contabilizamos dos veces el caso (2,2) que da suma igual a '4', es decir: por qué no distinguir el ( 2 rojo, 2 verde ) del ( 2 verde, 2 rojo ) ?. En realidad, si bien podemos imaginar los dos dados pintados de colores distintos con el fin de distinguirlos a la hora de lanzarlos, el caso es que eso es irrelevante. Y no por ello, sin embargo, entramos en contradicción al considerar como dos sucesos distintos (1,3) y (3,1) en la tabla, puesto que ésta es sólo un esquema de los resultados, que debemos interpretar correctamente sin llevarnos a engaño por no reflexionar lo bastante.

En efecto, veamos la razón de ello recreando el experimento de otra forma equivalente. Lanzar simultáneamente dos dados idénticos -- idénticos, en el sentido que ambos se caracterizan por tener la misma distribución de probabilidades en el conjunto de sus caras ( da igual si pintamos o no con colores distintos un dado y otro ) -- equivale a lanzar un mismo dado dos veces consecutivas; así que, dibujando un diagrama de árbol para obtener el conjunto completo de sucesos; y, siguiendo las ramas del mismo hasta llegar a cada uno de los $6 \cdot 6 = 36$ posibles resultados, podemos aplicar los principios multiplicativo y de suma. De esta forma, como la probabilidad de cada resultado elemental en un lanzamiento es $\dfrac{1}{6}$, la probabilidad de sacar, por ejemplo un '4', seria la suma de los tres resultados -- y, cuidado aquí, que son tres, y no cuatro, pues no hay más que tres caminos que conducen a ello: sacar un '1' en el primer lanzamiento y un '3' en el segundo; sacar un '3' en el primero y un '1' en el segundo; y sacar un '2' en el primero y también un '2' en el segundo -- que aportan probabilidad a ese valor de la suma como resultado del experimento, por tanto la probabilidad del mismo es $P((1,3))+P((3,1))+P(2,2))=1/36+1/36+1/36=3/36=1/12$ y no $\dfrac{4}{36}$ que es lo que obtendríamos si contásemos dos veces el resultado de la diagonal principal ( (2 rojo, 2 verde ) y (2 verde, 2 rojo )).

$\square$

[nota del autor]