Los seis primeros términos de una sucesión son: $0$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $\dfrac{3}{2}$, $2$ y $\dfrac{5}{2}$ a) ¿ De qué tipo es dicha sucesión ? ¿ Cuál es el valor del séptimo término ? b) Escriba la expresión general del término n-ésimo $a_n$ c) ¿ Cúal es el valor de $a_{100}$ ? d) Escriba la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión e) Calcule la suma de los cien primeros términos

Enunciado:
Los seis primeros términos de una sucesión son: $0$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $\dfrac{3}{2}$, $2$ y $\dfrac{5}{2}$
  a) ¿ De qué tipo es dicha sucesión ? ¿ Cuál es el valor del séptimo término ?
  b) Escriba la expresión general del término n-ésimo $a_n$
  c) ¿ Cúal es el valor de $a_{100}$ ?
  d) Escriba la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión
  e) Calcule la suma de los cien primeros términos


Solución:

a)
Ésta es una sucesión aritmética, pues, el valor de cada término se forma sumando una cantidad constante ( llamada diferencia, $d$, al valor del término precedente ); en este caso $d=\dfrac{1}{2}$ tal y como se puede comprobar facilmente: $\dfrac{1}{2}=0+\dfrac{1}{2}$, $1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}$ y, así, sucesivamente. Como $a_6=\dfrac{5}{2}$, el valor del séptimo término es $a_7=a_6+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}=3$

b)
El término general de una sucesión aritmética tiene la forma $a_n=a_1+d\,(n-1)$ para $n=1,2,3,\ldots$. En nuestro caso, $d=\dfrac{1}{2}$ y $a_1=0$, luego $a_n=0+\dfrac{1}{2}\cdot (n-1)=\dfrac{n-1}{2}$ para $n=1,2,3,\ldots$

c)
Como $a_n=\dfrac{n-1}{2}$ donde $n=1,2,3,\ldots$, basta sustituir $n$ por $100$ ( concretando el lugar que ocupa el término deseado ) en la expresión anterior ( término general de la sucesión ) y obtenemos $a_{100}=\dfrac{100-1}{2}=\dfrac{99}{2}$

d)
Recordemos que, al sumar una número finito de términos sucesivos de una sucesión aritmética, podemos hacer uso de la siguiente propiedad: la suma del primero y del último término de dicha secuencia es igual a la suma del segundo y del penúltimo y, a su vez, es igual a la suma del tercero y del antepenúltimo, y, lo mismo con los demás extremos de la secuencia que va resultando; esta propiedad de las sucesiones aritméticas lleva a la siguiente fórmula $s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$, la cual nos permite obtener de manera muy eficaz el valor de la suma pedida sin tener que calcular esta cantidad de manera acumulativa.

e)
Aplicando la fórmula de la suma de los $n$ términos sucesivos de una s. aritmética, y, teniendo en cuenta que $a_1=0$, $n=100$ y $a_{100}=\dfrac{99}{2}$, encontramos $s_{100}=\bigg(\dfrac{0+\frac{99}{2}}{2}\bigg) \cdot 100 = \dfrac{9900}{4}=2475$

$\square$

[nota del autor]