En un club deportivo formado por $20$ socios se practica el ciclismo y el esquí. Cada socio practica alguno de los dos deportes; $14$ socios afirman practicar el esquí, y $18$ socios afirman practicar el ciclismo. Enuncie el principio del recuento que debe manejarse para explicar la información que se da en el enunciado y, a partir de la misma, calcule la probabilidad de que un socio del club, elegido al azar, practique: a) el esquí y también el ciclismo b) sólo el esquí c) sólo el ciclismo

Enunciado:
En un club deportivo formado por $20$ socios se practica el ciclismo y el esquí. Cada socio practica alguno de los dos deportes; $14$ socios afirman practicar el esquí, y $18$ socios afirman practicar el ciclismo. Enuncie el principio del recuento que debe manejarse para explicar la información que se da en el enunciado y, a partir de la misma, calcule la probabilidad de que un socio del club, elegido al azar, practique:
  a) el esquí y también el ciclismo
  b) sólo el esquí
  c) sólo el ciclismo

Solución:
Denotemos por $C$ el conjunto de practicantes de ciclismo y por $E$ el de practicantes de esquí; consideremos ahora el cardinal de un conjunto finito ( número de elementos de dicho conjunto ), entonces, como todos los socios del club practican alguno de los dos deportes, debe cumplirse la siguiente propiedad: $\text{Card}(C \cup E)=\text{Card}(C)+\text{Card}(E)-\text{Card}(C \cap E)$, por tanto:

i) $\text{Card}(C \cap E)=\text{Card}(C)+\text{Card}(E)-\text{Card}(C \cup E)$, luego el número de socios que practican ambos deportes es $\text{Card}(C \cap E)=14+18-20=12$
ii) $\text{Card}(C \cap \bar{E})=\text{Card}(C)-\text{Card}(C \cap E)$, luego el número de socios que practican sólo ciclismo es $\text{Card}(C \cap \bar{E})=18-12=6$
iii ) $\text{Card}(E \cap \bar{C})=\text{Card}(E)-\text{Card}(C \cap E)$, luego el número de socios que practican sólo esquí es $\text{Card}(E \cap \bar{C})=14-12=2$

Nota:   Se ha denotado por $\text{Card}(\bar{E})$ el cardinal del conjunto de socios que no practican el esquí, y por $\text{Card}(\bar{C})$ el cardinal del conjunto de socios que no practican el ciclismo

De todo, ello, y considerando que todos los socios tienen la misma probabilidad de ser elegidos al azar, utilizando el principio de Laplace:

a)
$P(C \cap E)=\dfrac{\text{Card}(C \cap E)}{\text{Card}(C \cup E)}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}$

b)
$P(E \cap \bar{C})=\dfrac{\text{Card}(E \cap \bar{C})}{\text{Card}(C \cup E)}=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}$

c)
$P(C \cap \bar{E})=\dfrac{\text{Card}(C \cap \bar{E})}{\text{Card}(C \cup E)}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$

Observación:   Se puede resolver el problema prescindiendo del lenguaje formal de la teoría de conjuntos siguiendo los mismos pasos, esto es, teniendo en cuenta el principio básico del recuento de inclusión-exclusión, pero debe explicarse bien el proceso seguido.

$\square$

[nota del autor]