Los cinco primeros términos de una cierta sucesión geométrica son: $1$, $3$, $9$, $27$ y $81$. a) ¿ Cuál es el valor del séptimo término ? b) Escriba la expresión del término n-ésimo c) ¿ Cúal es el valor de $a_{10}$ ? d) Escriba la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión e) ¿ Cuánto suman los diez primeros términos ?

Enunciado:
Los cinco primeros términos de una cierta sucesión son: $1$, $3$, $9$, $27$ y $81$.
  a) ¿ Cuál es el valor del séptimo término ?
  b) Escriba la expresión del término n-ésimo
  c) ¿ Cúal es el valor de $a_{10}$ ?
  d) Escriba la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión
  e) ¿ Cuánto suman los diez primeros términos ?

Solución:
a)
Ésta es una sucesión geométrica, pues, el valor de cada término se forma multiplicando por una cantidad constante ( llamada razón de la s. geométrica, $r$, el valor del término precedente ); en este caso $r=3$; en efecto, $\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{3}{1}=3$, $\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{9}{3}=3$, $\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{27}{9}=3$, $\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=\dfrac{81}{27}=3$ y, así, sucesivamente. Como $a_7=r\cdot a_6=r\cdot r \cdot a_5$, y $a_5=81$, el valor del séptimo término es $a_7=a_5 \cdot r^2=81 \cdot 3^3=81 \cdot 9= 729$

b)
El término general de una sucesión geométrica tiene la forma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n=1,2,3,\ldots$. En nuestro caso, $r=3$ y $a_1=1$, luego $a_n=1 \cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$ para $n=1,2,3,\ldots$

c)
El valor pedido, $a_{10}$, se calcula sustituyendo $n$ por $10$ en la expresión del término n-ésimo ( término general ), resultando $a_{10}=3^{10-1}=3^9=19683$.   Nota: dicho valor también se puede obtener a partir de $a_4$ sin más que ir multiplicando por $r$ las veces necesarias.


d)
Hemos justificado en clase que el valor de la suma de $n$ términos sucesivos ( consecutivos ) se obtiene a partir de la fórmula $s_n=a_1\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$

e)
Aplicando la fórmula de la suma de los $n$ términos sucesivos ( consecutivos ) se llega al siguiente resultado $$s_{10}=1\cdot \dfrac{3^{10}-1}{3-1}=\dfrac{3^{10}-1}{2}=\dfrac{59049-1}{2}=29524$$
Nota: En el caso que nos ocupa es aún viable ( por el moderado número de términos a sumar ) obtener la suma de forma acumulativa, esto es, calculado $a_8$, $a_9$ y $a_{10}$ y, finalmente, $a_1+a_2+\ldots+a_{10}$, aunque es bastante más trabajoso; evidentemente, para valor de $n$ muy grandes no lo sería.

$\square$

[nota del autor]