En una urna hay $4$ bolas negras y $3$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide: a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria. b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color d) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea blanca y la segunda negra e) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea negra y la segunda blanca.

Enunciado:
En una urna hay $4$ bolas negras y $3$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide:
a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria.
b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color
d) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea blanca y la segunda
negra
e) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea negra y la segunda blanca.

Solución:

a)

b)
La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es igual a
$P\big( (B_1 \cap B_2 ) \cup ( N_1 \cap N_2)\big)$
y teniendo en cuenta que $B_1 \cap B_2$ y $_1 \cap N_2$ son incompatibles, podemos escribir la probabilidad anterior como
$P(B_1 \cap B_2 ) + P(N_1 \cap N_2) \underset{\text{principio de multiplicación}}{=} \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{3}{7}$

c)
La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color es la probabilidad del suceso contrario al pedido en el apartado anterior, luego su valor es $1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}$

d)
$P(B_1 \cap N_2)=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{7}$

e)
$P(N_1 \cap B_2)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]