ESO3 ( e. académicas ) - Puntualizaciones y anotacios sobre los contenidos expuestos y las lecturas del libro de texto de la semana del 1 al 7 de febrero

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Ejercicio con una función cuadrática

ENUNCIADO. Dada la función cuadrática $f(x)=x^2-4$, se pide:
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función

SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$

b)

c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $

$\square$

Sea la función cuadrática $f(x)=x^2-6\,x+8$. Se pide ...

Enunciado:
Sea la función cuadrática $f(x)=x^2-6\,x+8$. Se pide:

a) el valor de cada una de las raíces de la función $f(x)$ ( caso de tenerlas )

b) el valor de la ordenada en el origen de la función $f(x)$

c) las coordenadas del vértice de la parábola ( que es la curva que representa dicha función )

d) describir la recta de simetría de la parábola, ¿ cuál es el valor que toma la abscisa de todos los los puntos que se encuentran en dicha recta ?

e) dibujar el gráfico de dicha función y, también, todos los elementos notables a los que nos hemos referido anteriormente

f) hallar la imagen de $-10$

g) hallar las antiimágenes de $2$

Solución:
a)
Las raíces de $f(x)$ son los valores de $x$ que anulan la función; para encontrarlas, por tanto, imponemos la condición $f(x)=0$ y resolvemos la ecuación.
$x^2-6\,x+8=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2}=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{6+2}{2}=4 \\
\\
\dfrac{6-2}{2}=2 \\
\end{matrix}\right.$
luego la función $f$ tiene dos raíces: $4$ y $2$

b)
La ordenada en el origen de la función dada $f(x)$ es la imagen de $x=0$ por dicha función, esto es, $f(0)=0^2-6\cdot 0 +8=8$

c)
El vértice $V$ de la parábola -- curva que corresponde al trazo de la función dada ( por ser una función polinómica de segundo grado ) -- se sitúa en la recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por el punto medio del segmento $AB$, cuyos puntos extremos tienen las siguientes coordenadas: $A(2,0)$ y $B(4,0)$ ( puntos de corte de la gráfica de $f(x)$ con el eje de abscisas ); así, pues, $x_V=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3$, y, la ordenada de $V$ es la imagen ( por $f$ ) de $x_V$, esto es, $y_V=f(x_V)=f(3)=3^2-6\cdot 3 +8=-1$. Así, pues, el vértice es el punto $V(3,-1)$

d)
En el apartado anterior ya se ha respondido parte de la pregunta, pues, la recta de la que se hablaba ( que contiene al vértice ) es, precisamente, la recta de simetría de la parábola; todos los puntos situados en dicha recta, que es perpendicular al eje de abscisas, tienen abscisa igual a la del vértice de la parábola ( $x_V=3$ ), por lo que la ecuación de la misma viene dada por $x=3$.

e)

f)
$f(-10)=(-10)^2-6\cdot(-10)+8=168$

g)
$f(x)=2 \Leftrightarrow 2=x^2-6x+8 \Leftrightarrow x^2-6x+6=0$ y esto se cumple si y sólo si
$x=\dfrac{(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{60}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{6 \pm 2\,\sqrt{15}}{2}=3\pm \sqrt{15}$
esto es, hay dos antiimagenes para el valor de $y=2$ que son las siguientes:
$$x=\left\{\begin{matrix}
3+\sqrt{15} \\
\\
3-\sqrt{15} \\
\end{matrix}\right.$$

$\square$

[nota del autor]