Una manera de desarrollar una potencia de exponente $6$ y base $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Se quiere determinar el valor de los números enteros $a$ y $b$ tales que $$\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{6}=a+b\,\sqrt{5}$$

Denotemos $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Entonces,
  $2x-1=\sqrt{5}$
    $(2x-1)^2=(\sqrt{5})^2$
      $4x^2-4x+1=5$
        $4x^2-4x-4=0$
          $\dfrac{4\,x^2}{4}-\dfrac{4x}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{0}{4}$
              $x^2=x+1 \quad (1)$
La cantidad pedida, $\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{6}$, es por tanto,
  $x^{6}$
    $=(x^2)^3$, y por $(1)$ podemos escribirlo como
      $(x+1)^3=$
        $=(x+1)^2\cdot (x+1)$
          $=(x^2+2x+1)\cdot (x+1)$
            $\overset{(1)}{=}((x+1)+2x+1)\cdot (x+1)$
              $=(3x+2)\cdot (x+1)$
                $=3x^2+2x+3x+2$
                  $=3x^2+5x+2$
                    $\overset{(1)}{=}3\,(x+1)+5x+2$
                      $=3x+3+5x+2$
                        $=8x+5$
                          $=8\cdot \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right) +5$
                            $=4\cdot \left( 1+\sqrt{5} \right) +5$
                              $=4+ 4\,\sqrt{5} +5$
                                $=9+ 4\,\sqrt{5} \therefore a=9;\,b=4$
$\diamond$

Un ejercicio de potencias sucesivas

Analicemos esta supuesta igualdad: $$5^{3^{2}}\overset{?}{=}5^{2^{3}}$$

$5^{3^{2}}=5^{(3^{2})}=5^9$ y $5^{2^{3}} = 5^{(2^{3})}= 5^8$, y como $5^9 \gt 5^8$, se tiene que $5^{3^{2}} \gt 5^{2^{3}}$, es decir, la igualdad pedida no es cierta: $5^{3^{2}}\neq 5^{2^{3}}$

Y ahora analicemos esta otra $$(5^3)^2 \overset{?}{=}(5^2)^3$$

Esta otra sí es cierta, ya que $(5^3)^2=5^{3\cdot 2}=5^6 = 5^{2 \cdot 3} = (5^2)^3$

$\diamond$

Dos cálculos con potencias

Calculemos $2^{{1^{2^{3^{2}}}}}$. Para ello, recordemos que tenemos que empezar a calcular las potencias de arriba abajo: $2^{{1^{2^{3^{2}}}}}=2^{1^{2^{9}}}=2^{1^{512}}=2^1=2$

-oOo-

Vamos a calcular ahora $2^{0^{1^{2^{3^{4}}}}}$

Observemos que $0^{1^{2^{3^{2}}}}=0 \quad (1)$; no hace falta que calculemos $1^{2^{3^{2}}}$ pues en la base de la potencia (1) habrá un $0$ sea cual sea el exponente. Entonces, $2^{0^{1^{2^{3^{2}}}}}=2^0=1$. $\diamond$

ESO3B - Contenidos de la semana del 12 al 18 de octubre

Estableciendo qué cantidad es mayor que otra

ENUNCIADO. ¿ Qué es mayor $\displaystyle 2^{3^{2^{3}}}$ ó $2^{2^{3^{2}}}$ ?

SOLUCIÓN.
$$2^{3^{2^{3}}}=2^{3^8}=2^{6561}$$ y $$2^{2^{3^{2}}}=2^{2^9}=2^{512}$$ luego $$2^{2^{3^{2}}} \;< \; 2^{3^{2^{3}}}$$
$\square$

Calcular la potencia sucesiva ...

ENUNCIADO
Calcular el valor de la siguiente operación con potencias $$2^{2^{3}}$$

SOLUCIÓN
$$2^{2^{3}}=2^8=256$$
$\square$

[nota del autor]

Compruébese que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Comproveu que
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$

Solució:
En efecte,
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} = 2^{9} = 512$
i, per contra,
    $\displaystyle \big(2^3\big)^2 = 8^2 = 64 \neq 512$
per tant
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$
$\square$

[nota del autor]

Realizar las siguientes operaciones ...

Enunciado:
Realizar las siguientes operaciones:
  a)
      $\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3$
  b)
      $\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}$

Solución:
a)
      $\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3=\dfrac{9^3}{4^3}=\dfrac{729}{64}$
b)
      $\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt[2]{9}}{\sqrt[2]{4}}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2} \\\\ \\ -\dfrac{3}{2} \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

[nota del autor]