Una manera de desarrollar una potencia de exponente $6$ y base $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Se quiere determinar el valor de los números enteros $a$ y $b$ tales que $$\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{6}=a+b\,\sqrt{5}$$

Denotemos $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Entonces,
  $2x-1=\sqrt{5}$
    $(2x-1)^2=(\sqrt{5})^2$
      $4x^2-4x+1=5$
        $4x^2-4x-4=0$
          $\dfrac{4\,x^2}{4}-\dfrac{4x}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{0}{4}$
              $x^2=x+1 \quad (1)$
La cantidad pedida, $\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{6}$, es por tanto,
  $x^{6}$
    $=(x^2)^3$, y por $(1)$ podemos escribirlo como
      $(x+1)^3=$
        $=(x+1)^2\cdot (x+1)$
          $=(x^2+2x+1)\cdot (x+1)$
            $\overset{(1)}{=}((x+1)+2x+1)\cdot (x+1)$
              $=(3x+2)\cdot (x+1)$
                $=3x^2+2x+3x+2$
                  $=3x^2+5x+2$
                    $\overset{(1)}{=}3\,(x+1)+5x+2$
                      $=3x+3+5x+2$
                        $=8x+5$
                          $=8\cdot \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right) +5$
                            $=4\cdot \left( 1+\sqrt{5} \right) +5$
                              $=4+ 4\,\sqrt{5} +5$
                                $=9+ 4\,\sqrt{5} \therefore a=9;\,b=4$
$\diamond$