$\left( \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8}}} \right)^8$

Vamos a calcular $m$ (número entero positivo) tal que $\left( \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8}}} \right)^8=2^m$

  $\left( \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8}}} \right)^8=$
    $=\left( \sqrt{8\sqrt{\sqrt{8^2\cdot 8}}} \right)^8$
      $=\left( \sqrt{8\sqrt{\sqrt{8^{2+1}}}} \right)^8$
        $=\left( \sqrt{8\sqrt{\sqrt{8^{3}}}} \right)^8$
          $=\left( \sqrt{8\sqrt[4]{8^{3}}} \right)^8$
            $=\left( \sqrt{\sqrt[4]{8^4\cdot 8^{3}}} \right)^8$
              $=\left( \sqrt{\sqrt[4]{8^{4+3}}} \right)^8$
                $=\left( \sqrt{\sqrt[4]{8^{7}}} \right)^8$
                  $=\left( \sqrt[8]{8^{7}} \right)^8$
                    $=8^{7}$
                      $=(2^3)^{7}$
                        $=2^{7\cdot 3}$
                          $=2^{21} \therefore m=21$
$\diamond$