¡Cuidado al emplear ciertas técnicas en la resolución de determinadas ecuaciones algebraicas!

En este artículo quiero comentar algo que muchos alumnos acostumbran a hacer (no siempre correctamente) y que puede conducir a resolver mal cierto tipo de ecuaciones como es la siguiente $$x^2=(x-1)^2$$ Veamos de que se trata:

Primero, voy a resolver la ecuación de dos maneras, digamos, seguras. Observemos que la ecuación equivalente $x^2-(x-1)^2=0 \quad (1)$ es, en realidad, una ecuación de grado $1$, ya que al expandir el binomio al cuadrado del segundo término del primer miembro vemos que se anulan los términos de grado $2$: $x^2-(x^2-2x+1)=0$, esto es $x^2-x^2+2x-1=0$ y por tanto nos queda $2x-1=0$, cuya solución es, evidentemente, $x=\dfrac{1}{2}$. Basta con sustituir este valor en la ecuación planteada para comprobar que, efectivamente, este valor que acabo de encontrar es solución de dicha ecuación:
  $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2\overset{?}{=}0$
    $\dfrac{1^2}{2^2}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{2}\right)^2\overset{?}{=}0$
      $\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\overset{?}{=}0$
        $\dfrac{1}{4}-(-1)^2\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\overset{?}{=}0$
          El primer miembro es pues $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$, que es igual al cero del segundo miembro.

También podemos hacer lo siguiente a partir de $(1)$: $(x-(x-1))(x+(x-1))=0$, donde he empleado la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, con lo cual la ecuación simplificada es $(x-x+1)(x+x-1)=0$, esto es, $1\cdot (2x-1)=0$ y, de ahí, $x=\dfrac{1}{2}$

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Y, ahora, paso a hablar de lo que deberíamos evitar, empleado de manera irreflexiva, y por tanto incorrectamente, la siguiente técnica:
  $x^2=(x-1)^2$
    $\sqrt{x^2}=\sqrt{(x-1)^2} \quad (2)$
      $x=x-1$
        $x-x=-1$
          $0=-1$ (!!!), lo cual nos llevaría a la falsa conclusión de que la ecuación es incompatible. ¿Qué es pues lo que estamos haciendo mal? Es claro que la ecuación es compatible y que su solución es $\dfrac{1}{2}$. Pues bien, lo que ocurre aquí es que estamos saltándonos un paso previo y necesario a la aplicación de $(2)$, y es, ni más ni menos, que la simplificación de los términos de segundo grado, que se anulan; la ecuación polinómica pedida no es por tanto de segundo grado, sino de primer grado. El no darnos cuenta de ésto es la razón por la cual, la extracción de la raíz cuadrada en sendos miembros (paso $(2)$) no tiene, aquí, ningún sentido; por eso, obtenemos la contradicción que podría llevarnos a cometer el error reseñado y llevarnos interpretar erróneamente la ecuación como una ecuación incompatible. $\diamond$