Un problema de proporcionalidad compuesta

En un mismo barrio, se sabe que $10$ carteros reparten $100$ cartas en $2$ horas. Si sólo se dispone de $5$ carteros, ¿en cuánto tiempo repartiran $75$ cartas?

En este problema de proporcionalidad intervienen tres magnitudes: el tiempo de reparto, el número de carteros, y el número de cartas a repartir. Es por tanto, un problema de proporcionalidad compuesta. Como a más número de cartas mayor será el tiempo de reparto, la relación entre el tiempo de reparto y el número de cartas a repartir es inversa; y, por otra parte, cuántos más carteros estén disponibles, menor será el tiempo de reparto, con lo que la relación entre el tiempo de reparto y el número de carteros es inversa.

Denotemos por $t$ el valor del tiempo que se pide, y ordenemos los datos en la siguiente tabla:

  |---------------------------------------------------------------|
  |número de cartas | número de carteros  | tiempo de reparto (h) |
  |---------------------------------------------------------------|
  |     100         |        10           |          2            |
  |---------------------------------------------------------------|
  |      75         |         5           |         ¿t?           |
  |---------------------------------------------------------------|

Entonces, teniendo que una de las relaciones de proporcionalidad con el tiempo es directa y la otra es inversa:

$$\dfrac{t}{2}=\dfrac{75}{100}\cdot \left( \dfrac{5}{10}\right)^{-1}$$ esto es $$\dfrac{t}{2}=\dfrac{75}{100}\cdot \dfrac{10}{5}$$ y despejando $t$, resulta $$t=\dfrac{2\cdot 75 \cdot 10}{100\cdot 5}=3\,\text{h}$$ $\diamond$