Un ejercicio con sucesiones geométricas

ENUNCIADO. El tercer término de una sucesión geométrica es $\dfrac{1}{2}$ y el quinto término es $\dfrac{1}{8}$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos

SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$

b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$

Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$

$\square$