Un ejercicio con sucesiones aritméticas

ENUNCIADO. El segundo término de una sucesión aritmética es $3$ y el cuarto término es $4$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos

SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.

Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$

Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$

b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$

$\square$