Números racionales. Acerca del producto de fracciones, el inverso de una fracción, y el cociente de fracciones

Consideremos un número racional $\delta = \dfrac{m}{n} \neq 0$. El inverso de $\delta$, que notaremos $\text{inverso}(\delta)$, es el número racional tal que $\delta \cdot \text{inverso}(\delta) = 1$ ya que $1$ es el neutro de la operación multiplicación o producto de números racionales, con lo cual es claro que $\text{inverso}(\delta)=\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\frac{m}{n}}=\dfrac{n}{m}$, pues el resultado de dicho producto es $1$ tan solo si $\dfrac{m}{n}\cdot \dfrac{n}{m}=1$

Ejemplo de cálculo del inverso de una fracción
$\displaystyle \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{1}{\frac{5}{7}}=\dfrac{7}{5}$, ya que $\dfrac{5}{7}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=1 \Leftrightarrow \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{7}{5}$

Hablemos ahora del cociente de dos fracciones $\alpha \div \beta$ ( o lo que es lo mismo, $\dfrac{\alpha}{\beta}$ ), siendo $\alpha=\dfrac{a}{b}$ y $\beta =\dfrac{c}{d}$, donde $\beta \neq 0$ ( y por tanto, con $c \neq 0$ ). Podemos entender dicho cociente $\dfrac{\alpha}{\beta}$ como la operación combinada $\alpha \cdot \text{inverso}(\beta)$, esto es, como otra fracción de números enteros ( otra fracción o número racional ) $\gamma$, esto es $$\gamma=\displaystyle \dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplo de cálculo de un cociente de fracciones $$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{7} = \displaystyle \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{7}{5}=\dfrac{3\cdot 7}{4 \cdot 5}=\dfrac{21}{20}$$

$\square$