Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra

ENUNCIADO. Un número entero positivo de tres cifras verifica:
i) Es múltiplo de 9
ii) La cifra de las decenas es 5
iii) Si permutamos las cifras delas centenas y las unidades, el número disminuye en 297
¿ Cuál esl el producto de sus cifras ?

SOLUCIÓN.
Sean u, d y c las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas, respectivamente, que, desde luego, son números naturales. Entonces:
i) $u+d+c=9k$, siendo $k\in \mathbb{N}$
ii) $d=5$
iii) $(100c+10d+u)-(100u+10d+c)=297$


Esto no lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}u+d+c=9\,k \\ d=5 \\ c-u=3\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $d$ en las ecuaciones primera y tercera podemos escribir $$\left\{\begin{matrix}u+c=9\,k-5 \\ d=5 \\ -u+c=3\end{matrix}\right.$$ y sumándolas, obtenemos la siguiente ecuación compatible con dichas ecuaciones $$2c=9k-2$$ Descartamos los valores de $k:=0$ y $k:=1$ por proporcionar valores de $c$ que no corresponden a números naturales; así que el menor valor de $k$ coherente con la naturaleza de estos números es $k:=2$, para el cual $$c=\dfrac{9\cdot 2-2}{2}=8$$

Y sustituyendo este resultado en la tercera ecuación, determinamos el valor de las unidades $$u=c-3=8-3=5$$

Por consiguiente, el número de tres cifres del que se está hablando es $855$, luego el producto de sus cifras que se ha pedido es $8\cdot 5 \cdot 5 = 50 \cdot 5 = 200$
$\square$