¿Cómo estudiar y resolver ecuaciones lineales en las que aparece el valor absoluto de la incógnita en algunos de los términos algebraicos?

Un ejemplo de lo que quiero decir es la ecuación

$$3\,|x|+2=|x|-1$$ Veamos cómo podemos estudiarla correctamente, y, si la tuviese, cómo encontrar la solución:

Podemos darnos cuenta rápidamente de que esta ecuación no tiene solución, pues es equivalente a

$$3\,|x|-|x|=-2-1$$ esto es $$2\,|x|=-3$$ y por tanto $$|x|\overset{!}{=}-\dfrac{3}{2} \lt 0$$ pero esto es una contradicción, ya que el valor absoluto de un número no puede ser negativo, por consiguiente hay que concluir que la ecuación propuesta no tiene solución (es incompatible).

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Observación importante:

Hay que tener mucho chidado si procedemos de la manera alternativa que voy a comentar, mediante la cual, desde luego, se llega a la misma conclusión, pero eso sí, es necesario comprobar aparentes soluciones, que, en realidad no lo son. Veamos a qué me estoy refiriendo:

Es evidente que $0$ no es solución de la ecuación, pues al sustituir en la ecuación, se tiene que $3\cdot |0|+2=|0|-1$, esto es, $0+2=0-1$, luego $2=-1$, que, es una contradicción. Entonces, el valor de $x$ puede ser positivo o bien negativo:

1. Si $x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3x+2=x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$3x-x=-1-2$$ $$2x=-3$$ $$x=-\dfrac{3}{2}$$ Debemos ahora comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |3/2|+2\overset{?}{=}|3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3x+2=x-1$, no es solución de la ecuación propuesta, $3\,|x|+2=|x|-1$.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3\,(-x)+2=-x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$-3x+x=--1-2$$ $$-2x=-3$$ $$x=\dfrac{3}{2}$$ Como en el caso anterior, debemos comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |-3/2|+2\overset{?}{=}|-3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3\,(-x)+2=-x-1$, no lo es solución de la ecuación propuesta.

Por consiguiente, la ecuación propuesta no tiene solución. $\diamond$