Enunciat:
Estudieu els següents sistemes d'equacions:
a)
$\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
b)
$\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
c)
$\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$
Solució:
a)
$\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
Els primers membres d'ambdues equcions són iguals, llavors els segons membres també ho ha de ser, però, en igualar-los, ens trobem amb una contradicció: $1=2$. Concloem que el sistema és incompatible ( no té solució ).
b)
$\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
La segona equació és igual a la primera multiplicada per $-2$, per tant el sistema equival a una sola equació amb dues incòngnites $3\,x-y=4$ i en donar valors arbitraris a una de les dues (variable secundària), l'altra (la variable principal) pren el valor que l'estructura de l'equació li fa correspondre. Com que podem donar infinits valors a la variable secundària, hi ha infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat.
c)
$\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$
Aquest sistema és compatible determinat; li correspon un sol valor a la variable $x$ i un sol valor a la variable $y$, valors que podem calcular fàcilment, en aquest cas, perquè si sumem terme a terme ambdós membres de les equacions obtenim l'equació $2\,x=0$ (equació equivalent a cada una de les dues) de la qual deduïm que $x=0$ i, substituint aquest valor en una de les dues originals, trobem que $y=1$.
$\square$
